Transformation von Geschwindigkeiten

Die Weltlinie eines Teilchen sei in Koordinaten eines Beobachters ${\mathcal B}$, der beispielsweise im Labor ruht und arbeitet, durch $(t(s),x(s),y(s),z(s))$ als Funktion eines Bahnparameters $s$ gegeben. Diese Koordinaten hängen mit den Koordinaten $(t^\prime, x^\prime, y^\prime, z^\prime)$, mit denen ein bewegter Beobachter ${\mathcal B}_u$ dieselbe Weltlinie beschreibt, wenn er sich mit Geschwindigkeit $u$, $\vert u\vert<1$, in $x$-Richtung bewegt, durch (3.8) zusammen,

$$t = \frac{ t^\prime + u\, x^\prime}{\sqrt{1-u^2}}\ ,\quad x = \fr... ...t^\prime + x^\prime}{\sqrt{1-u^2}}\ ,\quad y = y^\prime\ ,\quad z = z^\prime\ .$$ (3.12)

Differenzieren ergibt, wie die Geschwindigkeit $\vec{v}=\frac{d\vec{x}}{dt}$ mit $\vec{v}^{\,\prime}=\frac{d\vec{x}^{\,\prime}}{dt^\prime}$ zusammenhängt,

$$\frac{dt}{ds}=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}(\frac{dt^\prime}{ds}+ u \fra... ...{dt^\prime}{ds}) = \frac{1+u\,v_x^\prime}{\sqrt{1-u^2}} \frac{dt^\prime}{ds}\ ,$$ (3.13)

$$\frac{dx}{ds}= \frac{dx}{dt}\frac{dt}{ds}= v_x\, \frac{dt}{ds} = ... ...rac{dt^\prime}{ds})= \frac{u + v_x^\prime}{\sqrt{1-u^2}}\frac{dt^\prime}{ds}\ ,$$ (3.14)

$$\frac{dy}{ds}= \frac{dy}{dt}\frac{dt}{ds}= v_y\, \frac{dt}{ds}= \... ...}\ ,\quad \frac{dz}{ds} = v_z \frac{dt}{ds} = v_z^\prime\frac{dt^\prime}{ds}\ ,$$ (3.15)

also

$$v_x = \frac{u+v^\prime_x}{1+ {uv^\prime}_x}\ ,\quad v_y = \frac{\... ..._x}\,v^\prime_y\ ,\quad v_z = \frac{\sqrt{1-u^2}}{1+uv^\prime_x}\,v^\prime_z\ .$$ (3.16)

Anders als die vier Koordinaten transformieren die drei Komponenten der Geschwindigkeit $\vec{v}$ nichtlinear. Falls sich das Teilchen in gleiche Richtung wie ${\mathcal B}_u$ bewegt, also $v_y=v_z=0$ ist, vereinfacht sich die Geschwindigkeitsaddition zu (2.16).

Bezeichnen wir mit $\theta$ den Winkel, den die Geschwindigkeit $\vec{v}$ des Teilchens mit der Relativgeschwindigkeit $\vec{u}$ der Beobachter bildet, und mit $v$ den Betrag der Geschwindigkeit, und wählen wir einfachheitshalber die $y$-Achse so, daß sich das Teilchen in der $x$-$y$-Ebene bewegt, so gilt

$$(v_x, v_y, v_z)= v\, (\cos\theta, \sin\theta, 0)\ , \quad (v^\prime_x,v^\prime_y,v^\prime_z) =v^\prime \,(\cos\theta^\prime,\sin\theta^\prime, 0)\ .$$ (3.17)

Setzen wir dies in das Transformationsgesetz von $\vec{v}$ ein und lösen wir nach $\cos\theta$ und $v$ auf, so folgt

$$\cos \theta =\frac{ u+v^\prime \cos\theta^\prime} {\sqrt{ (u+v^\prime \cos\theta^\prime)^2 +(1-{u^2})v^\prime{}^2\sin^2\theta^\prime}}\ ,$$ (3.18)

$$v = \frac{\sqrt{ (u+v^\prime \cos\theta^\prime)^2 +(1-{u^2})v^\prime{}^2\sin^2\theta^\prime}} {\displaystyle 1+{uv^\prime}\cos \theta^\prime}\ .$$ (3.19)

Die Faktoren $c$, die in anderen Maßsystemen auftreten, ergeben sich einfach, wenn man alle Geschwindigkeiten $u$, $v$ und $v^\prime$ durch $u/c$, $v/c$ und $v^\prime/c$ ersetzt.