Augenschein

Sind zwei gegeneinander bewegte Beobachter zur gleichen Zeit am gleichen Ort, so stimmen ihre Rückwärtslichtkegel überein und jeder Lichtpuls, den der eine Beobachter sieht, wird auch vom anderen Beobachter registriert. Dennoch sehen sie etwas verschiedenes. Farbe, Richtung und Helligkeit des Lichtes hängen von der Geschwindigkeit des Beobachters ab.

Der Dopplereffekt ändert die Frequenz, also die Farbe, des Lichtes und ebenso die Zahl der Photonen, die pro Sekunde empfangen werden. Aberration ändert die Richtung, unter denen das Licht einfällt, und daher auch die Dichte der Lichtstrahlen. Das Bild, das der bewegte Beobachter sieht, ist also eine verfärbte, verzerrte und in seiner Helligkeit geänderte Version des Bildes des ruhenden Beobachters [23]. Topologisch, das heißt in den Lagebeziehungen, stimmen beide Bilder überein, da sich das zweite Bild durch eine stetige, umkehrbare Abbildung aus dem ersten ergibt.

Um die Einfallsrichtung eines Lichtpulses für gegeneinander bewegte Beobachter $\mathcal B$ und $\mathcal{B}^{\,\prime}$ rechnerisch zu vergleichen, wählen wir als Koordinatenursprung das Ereignis, in dem sich beide Beobachter und der Lichtpuls treffen. Die Richtungen wählen wir so, daß sich $\mathcal{B}^{\,\prime}$ für $\mathcal{B}$ in $x$-Richtung und $\mathcal{B}$ für $\mathcal{B}^{\,\prime}$ in $-x^\prime$-Richtung bewegt und daß für beide Beobachter der Lichtpuls in der $x$-$y$-Ebene beziehungsweise in der $x^\prime$-$y^\prime$-Ebene läuft.

Mit dieser Wahl gehen die Koordinaten $l^\prime(t^\prime)$, die $\mathcal{B}^{\,\prime}$ für die Weltlinie des Lichtes mißt, durch eine drehungsfreie Lorentztransformation $l^\prime(t^\prime)=\Lambda\, l(t)$ aus den Koordinaten $l(t)=(t, -t \cos\theta, -t \sin\theta,0)$ (2.29) hervor, die $\mathcal{B}$ ermittelt. Dabei ist $(-\cos\theta,-\sin\theta,0)$ die Richtung, in die sich der Lichtstrahl bewegt und $(\cos\theta, \sin\theta,0)$ die Gegenrichtung, aus der $\mathcal{B}$ den Lichtstrahl einfallen sieht. Der Winkel $\theta$ ist der Winkel, den $\mathcal{B}$ zwischen der Einfallsrichtung des Lichtes und der Richtung sieht, in die sich $\mathcal{B}^{\,\prime}$ von ihm entfernt.

Entsprechend ist $\theta^\prime$ in $l^\prime(t^\prime)=(t^\prime, -t^\prime \cos\theta^\prime, -t^\prime \sin\theta^\prime,0)$ der Winkel, den $\mathcal{B}^{\,\prime}$ zwischen der Einfallsrichtung des Lichts und der Gegenrichtung sieht, in die sich $\mathcal B$ entfernt.

Die drehungsfreie Lorentztransformation in $x$-Richtung läßt die $y$- und $z$-Koordinaten invariant und streckt die Differenz $T_-=t-x$ um den Faktor $\kappa$ (2.8), $T_-{}^\prime = \kappa T_-$ (3.2). Der Beobachter $\mathcal{B}^{\,\prime}$ sieht folglich beim Lichtstrahl das Verhältnis $-l_y/l_-=\sin\theta/(1+\cos\theta)$

Abbildung: Kreis mit $\sin\theta$ und $1+\cos\theta$

um $\kappa$ verringert. Mit der trigonometrischen Identität

$$\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta} = \frac{2 \cos\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}}{2\cos^2\frac{\theta}{2}}= \tan \frac{\theta}{2}$$ (3.20)

ausgedrückt, hängt der Winkel $\theta^\prime$, unter dem $\mathcal{B}^{\,\prime}$ den Lichtstrahl einfallen sieht, durch

$$\tan \frac{\theta^\prime}{2}=\sqrt{\frac{1-v}{1+v}}\,\tan \frac{\theta}{2}\ .$$ (3.21)

mit dem Winkel $\theta$ zusammen, den $\mathcal{B}$ mißt [24].

Die Abänderung der Richtung, mit der Lichtstrahlen für bewegte Beobachter einfallen, heißt Aberration. Da der Tangens monoton mit dem Winkel wächst, ist $\theta^\prime$ für $0<v<1$ kleiner als $\theta$. Licht kommt einem bewegten Beobachter wie Regen mehr aus der Richtung entgegen, in die er sich bewegt.

In (3.21) ist die Abhängigkeit der transformierten Einfallsrichtung vom Transformationsparameter, der Geschwindigkeit $v$, und der ursprünglichen Richtung getrennt: $\tan \theta /2$ transformiert linear. In $\cos\theta$ ausgedrückt

$$\tan \frac{\theta}{2}= \frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}=\frac{\sqrt{1-\cos^2\theta}}{1+\cos\theta}= \sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}$$ (3.22)

und quadriert, lautet das Transformationsgesetz wie die Geschwindigkeitsaddition (2.15)

$$\frac{1-\cos\theta^\prime}{1+\cos\theta^\prime}= \frac{1-v}{1+v}\,\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}\ .$$ (3.23)

Dies kann man leicht nach $\cos\theta^\prime$ auflösen und damit $\sin\theta^\prime=\sqrt{1-\cos^2\theta^\prime}$ berechnen

$$\cos \theta^\prime=\frac{v + \cos\theta}{1 + v \cos \theta}\quad , \quad \sin \theta^\prime=\frac{\sqrt{1-v^2}}{1 + v \cos \theta}\,\sin\theta\ .$$ (3.24)