Umrisse bewegter Kugeln

Aberration der Richtungen $\vec{e}_{\theta\,\varphi}=(\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta)$ von Lichtstrahlen auf Richtungen $\vec{e}_{\theta^\prime\,\varphi^\prime}$, aus denen der bewegte Beobachter die Lichtstrahlen sieht, ist eine Selbstabbildung der Menge aller Richtungen, der zweidimensionalen Kugeloberfläche $S^2$.

Der Umriß von Kugeln erscheint bewegten Beobachtern nicht längenkontrahiert als Pfannkuchen, sondern wieder als Kugelumriß [24,26,27]. Aberration bildet also auf $S^2$ Kreise auf Kreise ab.

Dies erschließt man folgendermaßen. Alle Richtungen $\vec{e}$, $\vec{e}^{\,2}=1$, aus denen Lichtstrahlen vom Umriß einer Kugel beim Beobachter einfallen, bilden einen Kreiskegel und schließen mit der Richtung der Kegelachse, $\vec{n}$, $\vec{n}^{\,2}=1$, den gleichen Öffnungswinkel $\delta$ ein

$$\cos \delta = \vec{e}\cdot \vec{n}\ .$$ (3.26)

Ein Photon, das ein Beobachter im Ursprung aus Richtung $\vec{e}$ einfallend sieht, durchläuft die Weltlinie

$$l(t)=t\,k\ ,\quad k=(1,-\vec{e})\ ,\quad k^2=0\ ,$$ (3.27)

denn es bewegt sich mit Lichtgeschwindigkeit $v=1$ entgegengesetzt zur Richtung, aus der es beim Beobachter einfällt. Der Tangentialvektor der Weltlinie, $k$, ist lichtartig. Sie gehört genau dann zum Kreiskegel (3.26), wenn $k$ auf dem raumartigen Vierervektor

$$n=a\,(-\cos \delta,\vec{n})\ ,\quad n^2 < 0\ ,$$ (3.28)

im Sinne des Skalarproduktes (2.43) senkrecht steht

$$k\cdot n =a\,( -\cos\delta + \vec{e}\cdot\vec{n}) = 0\ .$$ (3.29)

Da Lorentztransformationen Skalarprodukte invariant lassen, erfüllen der transformierte Vektor $n^\prime=\Lambda n$ und alle transformierten Tangentialvektoren $k^\prime=\Lambda k$ des Kreiskegels die Gleichungen $k^{\prime\,2}=0$, $n^{\prime\,2}< 0$, und $k^\prime\cdot n^\prime = 0$. Da $n^\prime$ wie jeder raumartige Vektor von der Form (3.28) ist, definiert $n^\prime$ die Achse $\vec{n}^{\,\prime}$ und den Öffnungswinkel $\delta^\prime$ des Kreiskegels der Lichtstrahlen $k^\prime$.

Den Öffnungswinkel $\delta^\prime$ des transformierten Kugelumrisses und den Winkel $\theta^\prime$, den die Achse des transformierten Kegels mit der Bewegungsrichtung des bewegten Beobachters einschließt, entnimmt man einfach den durch Aberration (3.21) transformierten Richtungen derjenigen Lichtstrahlen des Kreiskegels, die mit der Bewegungsrichtung den größten und kleinsten Winkel, nämlich $\theta+\delta$ und $\theta-\delta$, einschließen

$$\tan\frac{\theta^\prime+\delta^\prime}{2}=\sqrt{\frac{1-v}{1+v}} ... ...prime-\delta^\prime}{2}=\sqrt{\frac{1-v}{1+v}} \,\tan\frac{\theta-\delta}{2}\ .$$ (3.30)

Den Vergrößerungsfaktor $D$ infinitesimaler Öffnungswinkel erhält man durch Differenzieren von $\theta^\prime(\theta)$ (3.21) zusammen mit (3.24)

$$D=\lim_{\delta \rightarrow 0}\frac{\delta^\prime}{\delta}= \frac{... ...\frac{\sin\theta^\prime}{\sin\theta} =\frac{\sqrt{1-v^2}}{1 + v \cos \theta}\ .$$ (3.31)

Da ein kleiner Kreis um einen Faktor $D$ vergrößert gesehen wird, erscheint jeder seiner Durchmesser richtungsunabhängig um diesen Faktor vergrößert. Zudem ist $D$ bei zwei benachbarten, kleinen Objekten annähernd gleich.

Daher stimmen in den Bildern, die zwei gegeneinander bewegte Beobachter am gleichen Ort zur gleichen Zeit sehen, die Größenverhältnisse benachbarter, kleiner Objekte überein. Da Winkel das Längenverhältnis von kleinem Kreisbogen zu kleinem Kreisradius sind, werden sie durch Aberration nicht geändert. Ein bewegter Beobachter sieht eine winkeltreu verformte und in Größenverhältnissen kleiner, benachbarter Objekte ungeänderte Version des Bildes, das der ruhende Beobachter sieht: Aberration ist konform.

In Anhang D.5 zeigen wir, daß jede Lorentztransformation auf die komplexe Variable $z=\cot \frac{\theta}{2}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varphi}$, die umkehrbar eindeutig mit Richtungen von Lichtstrahlen zusammenhängt, als Möbiustransformation wirkt.