Leuchtstärke

Bewegte Beobachter sehen nicht nur verfärbte und verformte, sondern auch in der Leuchtstärke abgeänderte Bilder. Wir bezeichnen mit $n(\omega,\theta,\varphi)\,d\omega\, d t\, d\Omega$ die Anzahl der Photonen im Frequenzintervall $d\omega$, die ein Beobachter innerhalb der Zeit $dt$ in Richtung $(\theta,\varphi)$ im Raumwinkelelement $d\Omega=\sin\theta\,d\theta\, d\varphi$ sieht. Der in Richtung $\theta=0$ bewegte Beobachter sieht die Photonen im dopplerverschoben Frequenzintervall $d\omega^\prime = D^{-1}\, d\omega$ (2.39) im durch Aberration geänderten Raumwinkelelement $d\Omega^\prime = D^{2}d\Omega$ (3.31). Das Zeitintervall $dt^\prime$, in dem der bewegte Beobachter am gleichen Ort und zur gleichen Zeit dieselbe Zahl von Photonen sieht, ist $dt^\prime= D\, dt$. Dies macht man sich am einfachsten durch die Überlegung klar, daß bei einem gleichmäßigen Photonenzahlstrom die Zahl der Photonen pro Zeit genauso eine Frequenz definiert wie die Zahl der Schwingungen der Welle pro Zeit. Da beide Beobachter dieselbe Zahl von Photonen sehen, gilt

$$n^\prime\, d\omega^\prime\, d t^\prime\, d\Omega^\prime = n^\prime\, D^{2}\,d\omega\, d t\, d\Omega = n\, d\omega\, d t\, d\Omega\ ,$$ (3.33)

und der bewegte Beobachter sieht die spektrale Photonenzahlstromdichte

$$n^\prime( \omega^\prime, \theta^\prime,\varphi^\prime)= \frac{(1 + v\cos\theta)^2}{1-v^2}\, n(\omega,\theta,\varphi)\ .$$ (3.34)