Transformation additiver Erhaltungsgrößen

Natürlich sind bei einem freien Teilchen alle Funktionen der Geschwindigkeit Erhaltungsgrößen, denn die Geschwindigkeit ist bei kräftefreier Bewegung konstant. Die besondere Bedeutung von Energie und Impuls rührt daher, daß sie additive Erhaltungsgrößen sind, das heißt, die Summe der Impulse und der Energien mehrerer Teilchen sind auch dann noch Erhaltungsgrößen, wenn sich die einzelnen Impulse und Energien zum Beispiel durch elastische Stöße ändern.

Stellt ein gleichförmig bewegter Beobachter additive Erhaltungsgrößen $\phi$ fest, so liegen auch für jeden anderen Beobachter, der Poincaré-transformierte Koordinaten $x^\prime = \Lambda\,x + a$ (3.11) verwendet, additive Erhaltungsgrößen $\phi^\prime$ vor, und es gibt eine Transformation, die die Erhaltungsgrößen ineinander umzurechnen gestattet.

Bei $x^\prime = \Lambda\,x + a$ ist $\Lambda$ eine Lorentzmatrix, die zum Beispiel zu einer drehungsfreien Lorentztransformation (3.9) oder zu einer Drehung gehört, $a=(a^0,a^1,a^2,a^3)$ gehört zu einer Verschiebung von Zeit und Ort.

Weil die Erhaltungsgrößen additiv sind, müssen sie linear transformieren

$$(\phi_{(1)}+\phi_{(2)})^\prime = \phi_{(1)}^\prime + \phi_{(2)}^\prime\ ,\quad (c \phi)^\prime = c \phi^\prime\ ,$$ (3.37)

denn für beide Beobachter sind die Erhaltungsgrößen Summen und Vielfache der einzelnen Teile. Die Transformation ist also wie eine Lorentztransformation von der Form

$$\phi^\prime = M_{\Lambda,a}\phi\ .$$ (3.38)

Die in diesem Transformationsgesetz auftretenden Matrizen $M_{\Lambda,a}$ sind dadurch eingeschränkt, daß eine weitere Transformation $x^{\prime\prime}=\Lambda_2 x^\prime + a_2$, die einer ersten Transformation $x^{\prime}=\Lambda_1 x + a_1$ folgt, auch gleich direkt ausgewertet werden kann

$$x^{\prime\prime}= \Lambda_{2\circ 1} x + a_{2\circ 1}\ ,\quad \Lambda_{2\circ 1} =\Lambda_2 \Lambda_1\ ,\quad a_{2\circ 1}= a_2 + \Lambda_2 a_1 \ .$$ (3.39)

Für die additiven Erhaltungsgrößen muß daher

$$\phi^{\prime\prime} = M_{\Lambda_{2\circ 1}\!,\,a_{2\circ 1}}\phi= M_{\Lambda_2,\,a_2}M_{\Lambda_1,\,a_1}\phi$$ (3.40)

gelten, und zwar für beliebige Werte der Erhaltungsgrößen $\phi$. Also müssen Produkte der Matrizen $M_{\Lambda,a}$ die Matrix ergeben, die zur hintereinander ausgeführten Transformation gehört

$$M_{\Lambda_{2\circ 1}\!,\,a_{2\circ 1}}= M_{\Lambda_2,\,a_2}M_{\Lambda_1,\,a_1}\ .$$ (3.41)

Matrizen $M_g$, die zu Elementen $g$ einer Gruppe $G$ gehören, und deren Matrixprodukt $M_{g_2}M_{g_1}=M_{g_2\circ g_1}$ zum Produkt $g_2\circ g_1$ gehören, heißen Darstellungen der Gruppe $G$. Welche Darstellungen es gibt, ist mathematisch ausführlich untersucht.