Viererimpuls

Bei der einfachsten Darstellung von Poincarétransformationen sind die Matrizen $M_{\Lambda,a}$ durch $\Lambda$ selbst gegeben. Andere Transformationen treten, wie wir später sehen werden, bei der Transformation des Drehimpulses und des Energieschwerpunktes (4.108) auf.

Im einfachsten Fall transformieren also vier Erhaltungsgrößen $p = (p^0,p^1,p^2,p^3)$, die wir im Vorgriff auf das Ergebnis unserer Betrachtung Viererimpuls nennen, gemäß

$$p^\prime = \Lambda p\ .$$ (3.42)

Bei Transformationen $x^\prime = x + a$ mit $\Lambda={{\mathbf 1}}$, die Zeit und Ort um $a=(a^0,a^1,a^2,a^3)$ verschieben, behalten die Komponenten des Viererimpulses ihren Wert. Daher hängen sie nicht vom Ort oder der Zeit, sondern nur von der Geschwindigkeit des Teilchens ab.

Wenn sich ein Teilchen langsamer als Licht bewegt, dann gibt es das Bezugssystem eines mitfliegenden Beobachters, für den das Teilchen ruht. Da die Geschwindigkeit $\vec{v}= 0$ invariant unter Drehungen ist und da der Viererimpuls eine Funktion der Geschwindigkeit ist, ändern Drehungen nicht den Viererimpuls $p$ eines ruhenden Teilchens. Folglich verschwindet im Ruhsystem eines Teilchens der räumliche Anteil $\vec{p}= (p^1,p^2,p^3)$ des Viererimpulses, und er hat die Form

$$p_{\text{Ruhe}}= (m\, c , 0, 0, 0 )\ .$$ (3.43)

Transformieren wir diesen Viererimpuls mit (3.9) in das Bezugssystem eines Beobachters, der sich mit $-v$ in $x$-Richtung bewegt und für den sich das Teilchen mit Geschwindigkeit $v$ in $x$-Richtung bewegt

$$\begin{pmatrix}p^0\\ p^1\\ \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac... ...{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\ \frac{m\,v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\ \end{pmatrix}\ ,$$ (3.44)

und drehen wir die Bewegung in eine beliebige Richtung, so erhalten wir den Viererimpuls eines Teilchens mit Geschwindigkeit $\vec{v}$

$$p^0 = \frac{m\, c}{\sqrt{1-\frac{\vec{v}^{\,2}}{c^2}}} \ , \quad \vec{p}= \frac{m\, \vec{v}}{\sqrt{1-\frac{\vec{v}^{\,2}}{c^2}}}\ .$$ (3.45)

Wir benennen die Komponenten des Viererimpulses so wie diejenigen Größen der Newtonschen Physik, mit denen sie im Grenzfall kleiner Geschwindigkeiten übereinstimmen. Bis auf höhere Potenzen von $v/c$ gilt

$$p^0(\vec{v}) = m\,c + \frac{1}{2}\frac{m}{c} \vec{v}^{\,2} + \dots \quad , \quad \vec{p}(\vec{v}) = m\, \vec{v} + \dots \quad \ .$$ (3.46)

Also ist $E=c p^0$ die Energie,

$$E = \frac{m\,c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\ ,$$ (3.47)

$(p^1,p^2,p^3)$ sind die Komponenten des Impulses $\vec{p}$, und $m$ ist die Masse des Teilchens. Sie ist positiv, und die Energie ist nach unten beschränkt.

Für ein Teilchen, das sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegt, wählen wir ein Bezugssystem mit $c=1$, in dem es sich in $x$-Richtung bewegt. Der Tangentialvektor an die Weltlinie $x(s)$ des Teilchens ist dann von der Form $\frac{dx}{ds}=\frac{dt}{ds}(1,1,0,0)$. Er ist invariant unter Drehungen um die $x$-Achse und invariant unter den Lorentztransformationen

$$\Lambda_a=\begin{pmatrix}1+\frac{a^2}{2}& -\frac{a^2}{2} & -a & \... ...{a^2}{2} & 1 - \frac{a^2}{2} & -a & \\ -a & a & 1 & \\ & & & 1 \end{pmatrix}\ .$$ (3.48)

Dies sind Lorentzmatrizen, denn die Spaltenvektoren haben Längenquadrat $\pm 1$, und die Skalarprodukte verschiedener Spaltenvektoren verschwinden.^3.3

Der Viererimpuls $p$ dieses lichtschnellen Teilchens muß wie der Tangentialvektor an seine Weltlinie invariant unter Drehungen um die $x$-Achse sein, daher müssen die $y$- und $z$-Komponenten $p^2$ und $p^3$ verschwinden. Damit $p$ auch invariant unter $\Lambda_a$ ist und auch die $y$-Komponente von $\Lambda_a p$ verschwindet, muß zudem $p^0=p^1$ sein.

Bewegt sich das Teilchen mit positiver Energie in beliebige Richtung, so gilt

$$p^0 = \vert\vec{p}\vert\ ,\quad E = c \vert\vec{p}\vert\ .$$ (3.49)

Auch bei lichtschnellen Teilchen ist der Viererimpuls ein Vielfaches des Tangentialvektors ihrer Weltlinie. Allerdings legt die Weltlinie nicht die Energie fest, sie ist positiv und kann im übrigen beliebig sein: es gibt rote und blaue Lichtstrahlen.

Für massive und für lichtschnelle Teilchen ist die Geschwindigkeit $\vec{v}$ das Verhältnis

$$\frac{\vec{v}}{c}= \frac{\vec{p}}{p^0}= \frac{\vec{p}}{\sqrt{m^2c^2 + \vec{p}^{\,2}}}\ .$$ (3.50)

Weil die Geschwindigkeit eine Funktion des Impulses ist und weil der Impuls erhalten ist, sind Teilchen träge. Man muß durch Kräfte Impuls übertragen, wenn man die Geschwindigkeit eines Teilchens ändern will.

Auch bei überlichtschnellen Teilchen, bei Tachyonen, erschließt man, daß der Viererimpuls ein Vielfaches des Tangentialvektors sein muß und mit einem Richtungsvektor $\vec{e}$ die Form

$$E=c\,p^0\ ,\quad \vec{p}=\vec{e}\; \sqrt{M^2 c^2 + \frac{E^2}{c^2}}$$ (3.51)

hat. Dabei ist die denkbare Energie $E$ des Tachyons ebenso wie die Energie eines hypothetischen Teilchens mit negativer Masse nicht nach unten beschränkt. Mit einem einzigen solchen Teilchen, dem man unbeschränkt Energie entzieht, könnte man ein Kraftwerk ohne anderen Brennstoff betreiben. Falls es Teilchen mit negativer Masse oder Tachyonen mit negativem Massenquadrat gäbe, wäre erklärungsbedürftig, warum sie nicht die Weltmeere zum Kochen bringen.

Das Vakuum ist für alle Beobachter gleich und hat daher einen Viererimpuls, der unter allen Transformationen $p^\prime = \Lambda\, p$ invariant ist. Es muß daher verschwindende Energie und verschwindenden Impuls haben, $p_{\text{Vakuum}}=(0,0,0,0)$. Das gilt auch für den Beitrag der sogenannten Quantenfluktuationen zur Energie, die manchen Theoretikern Kopfzerbrechen bereiten.