Masse

Die Masse $m$ verknüpft die Komponenten des Viererimpulses eines freien Teilchens. Unabhängig von der Geschwindigkeit gilt wegen (3.45)

$$p^2=(p^0)^2 -\vec{p}^{\, 2}=m^2 c^2\, ,\quad E = c\,p^0 = \sqrt{m^2c^4+\vec{p}^{\,2}c^2}\ .$$ (3.52)

Dies ist die Gleichung für eine Schale eines Hyperboloids: die Viererimpulse eines freien Teilchens liegen auf der Massenschale.

Die Beziehung (3.52) von Energie und Impuls gilt auch für lichtschnelle Teilchen, zum Beispiel für Photonen. Sie sind masselos. Ihr Viererimpuls $p$ ist lichtartig

$$p^2=(p^0)^2-\vec{p}^{\, 2}=0\, ,\quad p^0=\vert\vec{p}\vert > 0\ .$$ (3.53)

Photonen mit Viererimpuls $p$ gehören als Quanten zu ebenen elektromagnetischen Wellen $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k x}$ mit Viererwellenvektor $k=(\vert\vec{k}\vert,\vec{k})$. Dabei ist der Impuls $\vec{p}=\hbar \vec{k}$ ein Vielfaches des Wellenvektors, die Konstante $\hbar=1{,}055\cdot 10^{-34}$Js [1] ist das von Planck eingeführte Wirkungsquantum. Die Energie $E=\hbar\omega=\hbar c \vert\vec{k}\vert$ der Photonen ist ein Vielfaches der Frequenz $\nu = \frac{\omega}{2 \pi}$ der elektromagnetischen Welle. Diese Beziehung liegt Plancks Herleitung der thermischen Strahlungsdichte und Einsteins Deutung des photoelektrischen Effektes zugrunde.

Gemäß (3.47) haben ruhende Teilchen die Energie

$$E_{\text{Ruhe}}=m\,c^2\ .$$ (3.54)

Dies ist wohl die berühmteste Gleichung der Physik. Auf ihr beruht die Erkenntnis, daß bei Umwandlung von Atomkernen durch Spaltung oder Verschmelzung Energien freigesetzt werden können, denn die Gesamtmasse der Kerne ist meßbar verschieden von der Summe der Einzelmassen. Der Massenunterschied beruht auf Bindungsenergie, die militärisch oder friedlich, zerstörerisch oder nutzbringend verwendet werden kann. Gleichung (3.47) enthält auch die Aussage, daß es unendlich viel Energie kosten würde, ein massives Teilchen auf Lichtgeschwindigkeit zu bringen. Massive Teilchen sind immer langsamer als Licht.

Die Masse $m$ ist geschwindigkeitsunabhängig. Sie per Definition $E=m\,c^2$ als Bezeichnung für die geschwindigkeitsabhängige Energie zu verwenden, würde einen Begriff vergeuden. Heutzutage bezeichnet man mit Masse die Größe, die in veralteten Darstellungen umständlich Ruhemasse heißt.

Die Größe $M(v)=m/\sqrt{1-v^2/c^2}$ als geschwindigkeitsabhängige Masse zu bezeichnen, verführt dazu, sie in Formeln der Newtonschen Physik, die sich im Grenzfall kleiner Geschwindigkeiten aus relativistischer Physik ergibt, einzusetzen und zu glauben, eine für alle Geschwindigkeiten gültige Gleichung zu erhalten. Auch wenn dies im Einzelfall beim Impuls $\vec{p}=M(v)\, \vec{v}$ zutrifft, so ergibt sich fast immer Unsinn: die kinetische Energie ist nicht $M(v)\,\vec{v}^{\,2}/2$ und auch nicht $\vec{p}^{\,2}/(2M(v))$.

Ein schnell bewegtes Teilchen bewirkt nicht die Gravitation einer um einen Faktor $1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ vergrößerten Masse $M(v)$, und es wird nicht durch seine Geschwindigkeit zu einem Schwarzen Loch. Wenn es nur dieses Faktors bedürfte, hätte Einstein zehn Minuten statt zehn Jahre gebraucht, in die relativistische Formulierung von Mechanik und Elektrodynamik die Gravitation einzubeziehen.

Kraft ist nicht Masse mal Beschleunigung. Die Bewegungsgleichung relativistischer, geladener Teilchen (5.2) besagt, wie wir in Abschnitt 5.3 zeigen, daß der Gesamtimpuls der wechselwirkenden Teilchen und Felder erhalten bleibt,

$$\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} \ .$$ (3.55)

Die Kraft $\vec{F}$ ist der Impuls $d\vec{p}$, der pro Zeit $dt$ auf das Teilchen übergeht.

Die Beschleunigung zeigt normalerweise nicht in Richtung der Kraft,

$$\frac{d\vec{v}}{dt}= \sum_{i}\frac{... ...} = \frac{1}{\sqrt{m^2+\vec{p}^2}}(\vec{F}-(\vec{v}\cdot\vec{F})\,\vec{v}\,)\ ,$$ (3.56)

wobei wir einfachheitshalber im Maßsystem $c=1$ rechnen.

Trägheit schneller Teilchen ist richtungsabhängig. Wirkt die Kraft quer zu $\vec{v}$, ist die Beschleunigung $d\vec{v}_\perp/dt=\sqrt{1-v^2}\,\vec{F}_\perp/m$; in Richtung der Geschwindigkeit ist das Teilchen um den Faktor $1/(1-v^2)$ träger. Auch masselose Teilchen sind träge, $d\vec{v}_\perp/dt=\vec{F}_\perp/\vert\vec{p}\vert$, in Bewegungsrichtung sogar unendlich träge, $d\vec{v}_\parallel/dt=0$.

Bei der Bewegung mechanischer Anordnungen sind, lange bevor relativistische Auswirkungen meßbar werden, Korrekturen wichtig, die die endliche Schallgeschwindigkeit in den Körpern, die ja nicht ideal starr sind, berücksichtigen. Bei hohen Relativgeschwindigkeiten werden die Kräfte auf ein Teilchen durch Stöße mit anderen Teilchen bewirkt, die durch Energie- und Impulserhaltung eingeschränkt sind, und durch Wechselwirkung mit Feldern, wie dem elektromagnetischen Feld oder dem gravitativen Feld, der Metrik.