Zerfall in zwei Teilchen

Zerfällt ein ruhendes Teilchen der Masse $M$ in zwei Teilchen mit Massen $m_1$ und $m_2$, so sind die Energien der Zerfallsprodukte durch die beteiligten Massen festgelegt. Wegen Impulserhaltung ist der Impuls $\vec{p}$ des ersten Zerfallsproduktes dem Impuls des zweiten Teilchens entgegengesetzt gleich. Ihre Energien sind $E_1=\sqrt{m_1{}^2 + \vec{p}^{\, 2}}$ und $E_2 = \sqrt{m_2{}^2 + \vec{p}^{\, 2}}$, denn Energie und Impuls liegen auf der Massenschale (3.52). Die Energieerhaltung besagt, daß die Summe dieser Energien mit der Energie $M$ des ruhenden, zerfallenden Teilchens übereinstimmt

$$M = \sqrt{m_1{}^2 + \vec{p}^{\, 2}} +\sqrt{m_2{}^2 + \vec{p}^{\, 2}}\ > \ m_1 + m_2\ .$$ (3.57)

Insbesondere ist die Masse $M$ des zerfallenden Teilchens größer als die Summe der Massen der Zerfallsprodukte. Dies ist, wie beim Zwillingsparadoxon, der geometrische Sachverhalt, daß die Summe zweier zeitartiger Vierervektoren $p_1 + p_2$ länger als die Summe der Längen der einzelnen Summanden ist.

Wiederholtes Quadrieren und Umformen ergibt

$$\vec{p}^{\, 2} = \frac{1}{4 M^2}(M^4 + m_1{}^4 + m_2{}^4 -2M^2m_1{}^2 -2M^2m_2{}^2 -2 m_1{}^2m_2{}^2 )\ ,$$ (3.58)

$$E_1 = \frac{1}{2M}(M^2 - m_2{}^2 + m_1{}^2 )\ .$$ (3.59)

Wenn es Tachyonen mit Viererimpuls $p$, $p^2 = - M^2$, gäbe, wäre ihre Energie nicht nach unten beschränkt. Wenn sie elektromagnetisch wechselwirkten, könnten sie Photonen beliebig großer Energie abstrahlen, denn der Viererimpuls $k$ des Photons ist lichtartig, $k^2 = 0$, und der Viererimpuls $p+k$ von Tachyon und Photon liegt wieder auf der Tachyonmassenschale, $(p+k)^2 = -M^2$, falls $p\cdot k = 0\,$ gilt. Dies heißt (3.29), daß das Photon mit beliebiger Energie unter einem Winkel $\cos \theta = p^0/\vert\vec{p}\vert$ zum Impuls $\vec{p}$ des Tachyons ausgesendet wird.