Beschleunigte Uhren

Die Weltlinie einer Uhr $\Gamma:s\mapsto (t(s), x(s), y(s), z(s))$ ist zeitartig, das heißt, Ereignisse auf der Weltlinie liegen zeitartig zueinander^4.1. Ist die Weltlinie nicht gerade, sondern beschleunigt, so nähern wir sie durch viele kleine, gerade, zeitartige Strecken und setzen die Gesamtzeit additiv aus den Zeiten zusammen, die auf diesen Strecken vergehen.

Zwischen benachbarten Ereignissen mit Differenzvektor $ds ( \frac{dt}{ds}, \frac{dx}{ds}, \frac{dy}{ds}, \frac{dz}{ds})$ zeigt jede gleichförmig bewegte Uhr die Zeit $\Delta \tau$ an

$$\Delta\tau= ds \sqrt{ \Bigl (\frac{dt}{ds}\Bigr )^2 -\Bigl (\frac... ...{ds}\Bigr )^2 -\Bigl (\frac{dy}{ds}\Bigr )^2 -\Bigl (\frac{dz}{ds}\Bigr )^2}\ .$$ (4.1)

Ideale Uhren, die Weltlinien $\Gamma$ durchlaufen, messen und addieren diese Zeiten.

Zeit 1   Auf einer zeitartigen Weltlinie $\Gamma:s\mapsto x(s)$ zeigt eine ideale Uhr zwischen dem Ereignis $A=x({\underline{s}})$ und dem späteren Ereignis $B=x(\overline{s})$ die Zeit $\tau({ B,A}\,; \Gamma)$ an.

$$\tau({ B,A}\,; \Gamma)=\int\limits_{\Gamma: { A}\rightarrow { B}}... ...x}{ds}\Bigr )^2 -\Bigl (\frac{dy}{ds}\Bigr )^2 -\Bigl (\frac{dz}{ds}\Bigr )^2 }$$ (4.2)

Anders als in Newtonscher Physik ist $\tau$ keine Weltzeit, die allein von $A$ und $B$ abhängt, denn $\Delta \tau$ ist nicht die Ableitung $d\tau$ einer Funktion $\tau$ der Raumzeit. Die Zeit ist die Weglänge in der Raumzeit und hängt von der Weltlinie $\Gamma$ ab, die zwischen $A$ und $B$ durchlaufen wird.

Auf geraden Weltlinien stimmt $\tau^2$ überein mit dem Längenquadrat (2.44) des Differenzvektors $w_{BA}$ (2.48) von $A$ nach $B$.

Zwischen $A$ und $B$ setzt sich die Zeit additiv aus Zeiten zusammen, die auf Teilstücken $\Gamma_1$ und $\Gamma_2$ der Weltlinie vergehen, das heißt für alle Ereignisse $C$, die auf der Weltlinie $\Gamma=\Gamma_1+\Gamma_2$ zwischen $A$ und $B$ stattfinden, gilt

$$\int\limits_{\Gamma: { A}\rightarrow { B}}\!\!\! \Delta\tau\ =\in... ...Delta\tau\ + \ \int\limits_{\Gamma_2: { C}\rightarrow { B}}\!\!\! \Delta\tau\ .$$ (4.3)

Die Zeit $\tau({ B,A}\,; \Gamma)$ ist unabhängig von der Parametrisierung der Weltlinie.

Beim Beweis dieses Sachverhalts schreiben wir die Koordinaten der Weltlinie einfachheitshalber als Vierervektor $x(s) = ( t(s),\, x(s),\, y(s),\, z(s))$. Es ist $\Delta \tau = ds \sqrt{(\frac{dx}{ds})^2}$, und der Radikand ist das Längenquadrat $(\frac{dx}{ds})^2$ des Vierertangentialvektors $\frac{dx}{ds}$. Jede andere Parametrisierung $x(s^\prime)$ der Weltlinie $\Gamma$ mit monoton wachsendem $x^0$ ist durch $x(s(s^\prime))$ mit monoton wachsendem $s(s^\prime)$, also mit $\frac{ds}{ds^\prime}=\sqrt{\bigl (\frac{ds}{ds^\prime}\bigr )^2}$, gegeben. Nach der Kettenregel gilt $\frac{dx}{ds^\prime}\!=\!\frac{ds}{ds^\prime}\frac{dx}{ds}$, und mit dem Integralsubstitutionssatz folgt die Behauptung:

$$\int\limits_{\underline{s^\prime}}^{\overline{s^\prime}} ds^\prim... ...imits_{\underline{s}}^{\overline{s}} ds \sqrt{\Bigl (\frac{dx}{ds}\Bigr )^2}\ .$$ (4.4)

Parametrisiert man eine zeitartige Weltlinie durch die Zeit $t$, die ein ruhender Beobachter den Ereignissen zuschreibt, dann ist die Weltlinie durch $\Gamma:t\mapsto (t, x(t), y(t), z(t))$ gegeben und der Vierertangentialvektor hat die Komponenten $\frac{dx}{dt}=(1, \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt})=(1,v_x,v_y,v_z)$ und das Längenquadrat $1-\vec{v}^{\, 2}$. Auf einer Bahn $\vec{x}(t)$ zeigt also eine mitgeführte Uhr zwischen $t_1$ und $t_2$ die Zeit

$$\tau = \int_{t_1}^{t_2} \! dt \, \sqrt{1 -{\vec{v}^{\, 2}}}\ .$$ (4.5)

Wählt man als Bahnparameter die Zeit $\tau(s)$ (4.2), die eine mitgeführte Uhr bei $x(s)$ anzeigt, dann hat wegen $\frac{d\tau}{ds}=\sqrt{(\frac{dx}{ds})^{2}}$ der Tangentialvektor Einheitslänge

$$\bigl (\frac{dx}{d\tau}\bigr )^2= \Bigl (\frac{dx}{ds} \frac{ds}{... ...\Bigr)^2 =\Bigl (\frac{dx}{ds}\Bigr )^2 \Bigl(\frac{d\tau}{ds}\Bigr)^{-2} =1\ .$$ (4.6)

Hat umgekehrt der Tangentialvektor überall Einheitslänge, $\bigl (\frac{dx}{ds}\bigr )^2=1$, dann stimmt der Bahnparameter $s$ mit der Zeit $\tau(s)$ überein, die auf einer mitgeführten Uhr vergeht

$$\bigl (\frac{dx}{ds}\bigr )^2=1\ \Leftrightarrow \tau\bigl (x(\overline{s}),x(\underline{s});\Gamma\bigr ) =\overline{s}-\underline{s}\ .$$ (4.7)

Die Zeit, $\tau({ B,A}\,; \Gamma)$, die ideale Uhren anzeigen, ist unabhängig von der Beschleunigung in dem Sinne, daß der Integrand $\Delta \tau$ (4.1) nicht von zweiten Ableitungen $\frac{d^2x}{ds^2}$ abhängt. Dennoch ist die Zeit $\tau({ B,A}\,; \Gamma)$ ein Funktional der Weltlinie $\Gamma$, das für gerade und gekrümmte Weltlinien, die $A$ mit $B$ verbinden, unterschiedliche Werte hat, obwohl die Uhr beschleunigungsunabhängig ist.

Daß Uhren beschleunigungsunabhängig die Weglänge der durchlaufenen Weltlinie anzeigen, gehört zur Definition idealer Uhren, mit denen man reale Uhren vergleichen muß.

Viele reale Uhren sind nicht ideal und weichen beträchtlich von idealen Uhren ab. Sonnenuhren zeigen den Winkel einer erdfesten Achse zur Sonne an. Pendeluhren und Sanduhren messen die Beschleunigung. Die Sanduhr läuft paradoxerweise, wenn man sie festhält, und bleibt stehen, wenn man sie fallen läßt, noch bevor sie aufschlägt; das Pendel kreist mit konstanter Winkelgeschwindigkeit, wenn man die Pendeluhr fallen läßt. Quarzuhren verändern ihre Schwingungsfrequenz, wenn nach dem Hookschen Gesetz die Beschleunigung die Quarze verformt. Bei jedem quantenmechanischen System ist zu erwarten, daß die Abänderung des Hamiltonoperators, die die Beschleunigung bewirkt, auch die Energieniveaus ändert, mit der die Uhr betrieben wird. Werden zum Beispiel Atome in magnetischen Feldern abgelenkt, so verstimmen die Magnetfelder die Übergangsfrequenzen. In jedem Fall muß das Verhalten realer, beschleunigter Uhren physikalisch analysiert werden. Es ist nicht durch (4.2) axiomatisch festgelegt.

Uhren können durch völlig unterschiedliche physikalische Prozesse realisiert werden, wie zum Beispiel durch den Zerfall des Myons oder durch elektromagnetische Übergänge in Atomen. Nach Ausschluß der offensichtlich nichtidealen Uhren und nach Korrektur der bekannten Störeffekte, die bei realen Uhren auftreten, insbesondere nach Korrekturen (6.4), die gravitativ verursacht und in der Allgemeinen Relativitätstheorie verstanden werden, stimmt (4.2) ausnahmslos mit allen Beobachtungen überein. Darauf beruht zum Beispiel das Ortungssystem GPS (global positioning system) [28].

Myonen werden in Speicherringen mit Magnetfeldern auf ihrer Bahn gehalten und intensiv untersucht, weil wir am Verhalten ihres Spins im Magnetfeld unser Verständnis der Elementarteilchenphysik mit einer Genauigkeit von 9 Dezimalen überprüfen können. Alle Beobachtungen, die man an diesen Myonen gemacht hat, sind verträglich mit der einfachen Annahme, daß die innere Uhr der Myonen, die ihren Zerfall regiert, unabhängig von der Beschleunigung die Zeit (4.2) anzeigt. So zeigte sich [29] innerhalb der Meßgenauigkeit von $1\%$ keine Abweichung von (4.2), obwohl bei hochenergetischen Myonen die Beschleunigung im Speicherring etwa das $4\cdot 10^{16}$-fache der Erdbeschleunigung beträgt. Bezogen auf die Masse $m_{\mu}c^2=\unit{105}{\mega\electronvolt}$ [1] des Myons, auf das Plancksche Wirkungsquantum $\hbar=1{,}05\cdot 10^{-34}\joule\second$ und die Lichtgeschwindigkeit $c$, ist die Beschleunigung $b$ allerdings immer noch klein $b\,\hbar/(m_{\mu}c^3) \sim 10^{-13}$. Diese Zahl ist die Geschwindigkeitsänderung des Myons im Speicherring relativ zur Lichtgeschwindigkeit während einer Schwingungsdauer seiner Wellenfunktion.