Freie Teilchen

Kräftefreie Teilchen bewegen sich mit gleichförmiger Geschwindigkeit. Sie durchlaufen also gerade Weltlinien. Vergleichen wir verschiedene Weltlinien durch zwei zueinander zeitartige Ereignisse $A$ und $B$, so ist die gerade Weltlinie dadurch ausgezeichnet, daß die in (4.2) definierte Zeit

$$\tau({ B,A}\, ; \Gamma):=\frac{1}{c} \int\limits_{\underline{s}}^{\overline{s}}\! ds\, \sqrt{\Bigl (\frac{dx}{ds}\Bigr )^2}$$ (4.8)

größer als auf allen anderen Weltlinien $\Gamma$ von $A$ nach $B$ ist. Zu diesem Schluß gelangt man, wenn man die Weltlinie variiert und die Zeit $\tau$ für eine Kurve $x(s)+\delta x (s)$ für kleine $\delta x(s)$ auswertet. Dann ändert sich $\tau$ in erster Ordnung um

$$\delta \tau = \frac{1}{c}\int\limits_{\underline{s}}^{\overline{s... ...}\cdot\frac{dx}{ds} \Bigl ( \sqrt{\Bigl (\frac{dx}{ds}\Bigr )^2}\,\Bigr)^{\!-1}$$

und nach partieller Integration erhält man für die Differenz $\delta \tau$

$$\delta \tau =-\frac{1}{c}\int\limits_{\underline{s}}^{\overline{s... ...dx}{ds}\Bigl ( \sqrt{\bigl ( \frac{dx}{ds}\bigr )^2}\,\Bigr)^{\!-1}\,\Bigr )\ .$$ (4.9)

Randterme treten bei der partiellen Integration nicht auf, da auch die variierte Weltlinie durch $A$ und $B$ geht und da demnach $\delta x({\underline{s}})=0$ und $\delta x(\overline{s})=0$ ist. Für eine Weltlinie extremaler Zeitdauer verschwindet $\delta \tau$ für alle Funktionen $\delta x$, die diese Randbedingungen erfüllen. Die Funktionen $x(s)$ müssen daher die Differentialgleichungen

$$\frac{d}{ds}\, \frac{\frac{dx}{ds}}{ \sqrt{ (\frac{dx}{ds} )^2}} =0$$ (4.10)

erfüllen, die besagen, daß der Einheitsvektor in Richtung der Tangente konstant ist. Die Länge des Tangentialvektors $\frac{dx}{ds}$ wird nicht festgelegt, da die Zeit $\tau$, wie in (4.4) gezeigt, nicht von der Parametrisierung der Weltlinie abhängt.

Gleichung (4.10) ist notwendig dafür, daß die Zeit $\tau$ sich nicht in erster Ordnung in $\delta x$ ändert, das heißt, daß die Zeit stationär ist: Wäre der Faktor bei $\delta x^m$ zu einem Zeitpunkt größer Null, so wäre er in einer ganzen Umgebung dieses Punktes größer Null. Wählte man dann ein $\delta x^m$, das außerhalb dieser Umgebung verschwindet und innerhalb dieser Umgebung positiv ist, so wäre $\delta \tau$ negativ und die Zeit $\tau$ nicht stationär.

Wählt man die Parametrisierung so, daß der Tangentialvektor konstante Länge $c$ hat

$$\Bigl (\frac{dx}{ds}\Bigr )^2=c^2\ ,$$ (4.11)

dann stimmt der Bahnparameter $s$ bis auf Wahl des Nullpunktes mit der Uhrzeit $\tau$ auf der Weltlinie überein und Gleichung (4.10) besagt, daß die Beschleunigung $b=\frac{d^2x}{ds^2}$ längs der Bahn verschwindet, daß der Tangentialvektor konstant ist

$$\frac{d^2x}{ds^2} = 0$$ (4.12)

und daß die Weltlinie extremaler Zeit durch

$$x (s) = \frac{s}{\sqrt{1-\frac{\vec{v}^{\,2}}{c^2}}} \begin{pmatrix}c\\ \vec{v} \end{pmatrix} + x(0)$$ (4.13)

gegeben ist. $\vec{v}$ und $x(0)$ werden durch Anfangs- oder Randbedingungen festgelegt.

Bei vorgegebenen Anfangs- und Endpunkten ist die Gerade in der Raumzeit eindeutig festgelegt. Auf ihr ist die Zeit nicht nur stationär, sondern extremal. Die extremale Zeit $\tau(B,A;\Gamma)$ ist auf der geraden Weltlinie von $A$ nach $B$ größer als auf einer Weltlinie mit Knick. Die extremale Zeit ist also maximal.

Da freie Teilchen definitionsgemäß gerade Weltlinien durchlaufen, ist die Eigenzeit (4.8) bis auf einen Normierungsfaktor ihre Wirkung

$$W_{\text{Teilchen}}[x]=-m\, c \int\!ds\, \sqrt{\Bigl (\frac{dx}{ds}\Bigr )^2}\ .$$ (4.14)

Die physikalisch durchlaufenen Bahnen erfüllen die Bewegungsgleichung (4.10), auf ihnen ist bei festgehaltenen Randpunkten die Wirkung (4.14) extremal.