Wirkungsprinzip

Abbildungen von Funktionen in die reellen Zahlen nennt man Funktionale. Zum Beispiel ordnet die Weglänge den Funktionen $x^m(t)$ die Länge der Bahn zu.^4.2Kann man ein Funktional durch eine Reihe in den Funktionen $x^m(t)$ darstellen, so ist es von der Form

$$\begin{split}W[x]=\sum_{n}\frac{1}{n!}\int\!dt_1dt_2\dots dt_... ...cdot\, & x^{m_1}(t_1)x^{m_2}(t_2)\dots x^{m_n}(t_n) \end{split}$$ (4.15)

mit irgendwelchen Koeffizientenfunktionen $f_{m_1m_2\dots m_n}(t_1,t_2,\dots,t_n)$. Die Koeffizientenfunktionen heißen auch $n$-Punkt-Funktionen. Sie sind total symmetrisch unter jeder Permutation $\pi:\bigl (1,2,\dots,n\bigr )\mapsto \bigl (\pi(1),\pi(2),\dots,\pi(n)\bigr )$ der Argumente

$$f_{m_1m_2\dots m_n}(t_1,t_2,\dots,t_n)= f_{m_{\pi(1)}m_{\pi(2)}\dots m_{\pi(n)}}(t_{\pi(1)},t_{\pi(2)},\dots,t_{\pi(n)})\ .$$ (4.16)

Lokale Funktionale, wie zum Beispiel die Weglänge, sind spezieller von der Form

$$W[x]=\int\!dt\, \mathscr{L}(x(t),\dot{x}(t),t)\ .$$ (4.17)

Der Wert solch eines lokalen Funktionals summiert sich aus Beiträgen von allen Zeiten und macht zu jedem Zeitpunkt $t$ nur Gebrauch von einer Funktion $\mathscr{L}$ von den dann vorliegenden Daten $t$, $x$ und $\dot{x}$ und eventuell von höheren, aber endlich hohen, Ableitungen von $x$. Die Größen $x$ und ihre Ableitungen nennen wir Jet-Variable. Auf den Jet-Variablen wirkt $\frac{d}{dt}$ algebraisch. Schreiben wir die $n$-te Ableitung als $x_{(n)}$, so bewirkt $\frac{d}{dt}$ eine Verschiebung im Ableitungsindex $\frac{d }{dt}x_{(n)}= x_{(n+1)}$ .

Die Funktion $\mathscr{L}(x,\dot{x},t)$, die im Integranden des lokalen Funktionals auftritt, heißt Lagrangefunktion. Sie ist eine Funktion der Zeit und der Jet-Variablen und ist zu unterscheiden von der verketteten Funktion $L(t)=\mathscr{L}(x(t),\dot{x}(t),t)$, die man erhält, wenn man die Variablen $x$ und $\dot{x}$ auf einer Bahn $x(t)$ durch die Funktionen $x(t)$ und ${\dot{x}}(t)$ ersetzt. Man kann zwar $\mathscr{L}(x,\dot{x},t)$ nach $x$, nicht aber $L(t)$ nach $x(t)$ ableiten.

Physikalische Systeme sind durch ein lokales Funktional, die Wirkung, charakterisiert. Mit der Wirkung lassen sich Bewegungsgleichungen unabhängig vom verwendeten Koordinatensystem formulieren und der Zusammenhang von Symmetrie und Erhaltungsgrößen klären.

Wie (4.57) zeigen wird, setzt sich, falls die Energie erhalten ist, die Lagrangefunktion mit Koeffizienten $1/(n-1)$ aus den Anteilen $E_n$ der Energie zusammen, die homogen vom Grad $n$ in den Geschwindigkeiten $\dot{x}$ sind,

$$\mathscr{L}=\sum_n \frac{E_n}{n-1}\ .$$ (4.18)

Besteht die Energie aus der geschwindigkeitsunabhängigen potentiellen Energie, $n=0$, und aus kinetischer Energie, die quadratisch in den Geschwindigkeiten ist, $n=2$, so ist Lagrangefunktion die Differenz

$$\mathscr{L}(x,\dot{x},t)=E_{\text{kin}}-E_{\text{pot}}\ .$$ (4.19)

Beim Massepunkt an einer Feder, dem harmonischen Oszillator, ist sie

$$\mathscr{L}_{\,\text{Oszillator}}(x,\dot{x},t)=\frac{1}{2}m\dot{x}^2 - \frac{1}{2}\kappa x^2\ .$$ (4.20)

Die Ableitung eines Funktionals $W[x+\lambda \delta x]$ nach $\lambda$ bei $\lambda = 0$ mit beliebigem $\delta x$ definiert (für $t$ im Inneren des Integrationsbereiches) die Funktionalableitung $\frac{\delta W}{\delta x^m(t)}$

$$\delta W[x,\delta x] := \int\! dt\, \delta x^m (t)\, \frac{\delta W}{\delta x^m(t)}+ :=\lim_{\lambda\rightarrow 0}\frac{1}{\lambda}( W[x+\lambda\, \delta x] - W[x]) \ .$$ (4.21)

Gilt diese Gleichung für alle Variationen $\delta x^m$ und ist die Funktionalableitung $\frac{\delta W}{\delta x^m(t)}$ stetig, so ist sie auch eindeutig, denn aus

$$\int\! dt\, \delta x^m (t)\, f_m(t) = \int\! dt\, \delta x^m (t)\, g_m(t)\quad \forall \delta x^m$$ (4.22)

folgt $f_m(t)=g_m(t)$: Wäre nämlich zu einer Zeit $t$ beispielsweise $f_1(t)-g_1(t)$ positiv, so wäre diese Differenz in einer ganzen Umgebung dieses Zeitpunktes positiv; wählte man dann ein $\delta x^m$, das für $m\ne 1$ verschwindet und das für $m=1$ innerhalb der Umgebung positiv ist und außerhalb verschwindet, so wäre $\int\! dt\,\delta x^m (t)\,(f_m(t)-g_m(t))$ positiv.

Für ein allgemeines Funktional (4.15) ist die Funktionalableitung

$$\begin{split}\frac{\delta W}{\delta x^m(t)}= \sum_{n}\frac{1}... ...ot \,&x^{m_1}(t_1)x^{m_2}(t_2)\dots x^{m_n}(t_n)\ . \end{split}$$ (4.23)

Sie ist ein Funktional, das erneut differenziert werden kann. Die $n$-Punkt-Funktionen $f_{m_1m_2\dots m_n}(t_1,t_2,\dots,t_n)$ sind die $n$-fachen Funktionalableitungen bei $x^m(t)\equiv 0$

$$f_{m_1m_2\dots m_n}(t_1,t_2,\dots,t_n)= \frac{\delta^n W}{\delta ... ...elta x^{m_2}(t_2)\dots \delta x^{m_n}(t_n)}_{{\bigl \vert}_{x^m(t)\equiv 0}}\ .$$ (4.24)

Um die Variationsableitung eines lokalen Funktionals zu bestimmen, betrachten wir, wie sich die Lagrangefunktion $\mathscr{L}(x_\lambda, \dot{x}_\lambda,t)$ als Funktion eines Parameters $\lambda$ verhält, der eine Schar von Funktionen $x_\lambda^m(t)=x^m(t,\lambda)$ bezeichnet. Bei der Schar kann es sich beispielsweise um die Koordinaten einer Bahn $x^m$ und beliebige Abweichungen $\delta x^m$ handeln $x^m(t,\lambda)=x^m(t)+\lambda\, \delta x^m(t)$ oder um Bahnen, die durch kontinuierliche Transformationen mit Transformationsparameter $\lambda$ auseinander hervorgehen. Die Funktion $x_{\lambda = 0}$ nennen wir kürzer $x$, als $\delta \mathscr{L}$ und $\delta x^m$ bezeichnen wir die Ableitung nach $\lambda$ bei $\lambda = 0$. Da die Reihenfolge der Ableitungen nach $\lambda$ und nach dem Bahnparameter $t$ vertauscht werden kann, gilt

$$\delta \dot{x}^m=\frac{d}{dt}\delta x^m\ .$$ (4.25)

Daher besagt die Kettenregel für die Lagrangefunktion

$$\delta \mathscr{L}= \delta x^m \frac{\partial \mathscr{L}}{\parti... ...rac{d}{dt}\delta x^m \bigr ) \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{x}^m}\ .$$ (4.26)

Dies können wir mit der Produktregel als Summe einer vollständigen Ableitung und von Produkten mit undifferenzierten $\delta x^m$ schreiben

$$\delta \mathscr{L}= \delta x^m \bigl ( \frac{\partial \mathscr{L}... ...t}\bigl ( \delta x^m \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{x}^m} \bigr )\ .$$ (4.27)

Die Funktion der Jet-Variablen, die $\delta x^m$ nach Abwälzen der Ableitung multipliziert,

$$\frac{\hat{\partial} \mathscr{L}}{\hat{\partial}x^m}= \frac{\part... ...{\partial x^m} - \frac{d}{dt}\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{x}^m}\ ,$$ (4.28)

heißt Eulerableitung der Lagrangefunktion.^4.3Dabei wirkt die Ableitung $\frac{d}{dt}$ auf Funktionen $f(t,x,\dot{x})$ durch

$$\frac{d}{dt}f= \partial_t f +\dot{x}^n\partial_{x^n}f +\ddot{x}^n\partial_{\dot{x}^n}f\ .$$ (4.29)

Die Lagrangefunktion $\mathscr{L}$ ändert sich gemäß (4.27) bei einer Änderung $\delta x^m$ der Argumente um die vollständige Ableitung von $\delta x^m \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{x}^m}$ und um $\delta x^m$ mal der Eulerableitung $\frac{\hat{\partial} \mathscr{L}}{\hat{\partial}x^m}$. Von dieser Gleichung machen wir wiederholt Gebrauch. Sie gilt unabhängig davon, welche Änderung $\delta x^m$ wir betrachten, ob sie eine beliebige Abweichung von physikalisch durchlaufenen Bahnen $x(t)$ bezeichnet, für die $\delta x^m$ an Randpunkten verschwindet, oder ob $\delta x^m$ für die Änderung von $x^m$ unter einer Transformationsgruppe steht.

Aus (4.27) folgt die Variationsableitung der lokalen Wirkung (4.17)

$$\delta W[x,\delta x] = \int\! dt \, \delta \mathscr{L}= \int\! dt... ...at{\partial}x^m} + \frac{d}{dt}(\delta x^m \partial_{\dot{x}^m} \mathscr{L})\ .$$ (4.30)

Das Integral über die vollständige Ableitung ergibt Randterme

$$\int\! dt\, \frac{d}{dt}(\delta x^m \partial_{\dot{x}^m} \mathscr... ...t \rule[-2mm]{0pt}{7mm} \,\delta x^m \partial_{\dot{x}^m} \mathscr{L}\right . .$$ (4.31)

Diese Randterme verschwinden für Bahnkurven, die durch dieselben Randpunkte gehen wie $x(t)$, da dort die Funktionen $\delta x^m$ verschwinden.

Die Funktionalableitung einer lokalen Wirkung (4.17) mit Lagrangefunktion $\mathscr{L}$ nach Variationen, die am Rand verschwinden, ist die Eulerableitung der Lagrangefunktion

$$\frac{\delta W}{\delta x^m}= \frac{\hat{\partial} \mathscr{L}}{\hat{\partial}x^m}\ .$$ (4.32)

Physikalisch durchlaufene Bahnkurven $x^m(t)$ sind bei Abwesenheit von Reibung und nichtholonomen Zwangsbedingungen durch das Prinzip der stationären Wirkung ausgezeichnet, daß die lokale Wirkung (4.17, 4.19) auf physikalischen Bahnen stationär ist bezüglich aller infinitesimalen Variationen der Bahn, die am Rand verschwinden. Es verschwindet also auf physikalischen Bahnen $x^m_{\text{phys}}(t)$ die Eulerableitung der Lagrangefunktion

$$\bigl ( \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial x^m} - \frac{d}{dt}\... ...thscr{L}}{\partial \dot{x}^m} \bigr )_{\bigr \vert _{x_{\text{phys}}(t)}} =0\ .$$ (4.33)

Dies sind die Euler-Lagrange-Gleichungen für physikalische Bahnen $x_{\text{phys}}(t)$. Sie sind die Bewegungsgleichungen, die physikalische Bahnen unter all denjenigen Bahnen aussondern, die zur Zeit $t={\underline{t}}$ und $t=\overline{t}$ durch festgelegte Randpunkte gehen.^4.4

Beim harmonischen Oszillator (4.20) ist die Eulerableitung $-\,m\ddot{x}-\kappa x$ und die Euler-Lagrange-Gleichung hat die Lösung $x(t)=a \cos(\omega t + \varphi)$, wobei $\omega=\sqrt{\kappa / m}$ das $2\pi$-fache der Frequenz ist. Die Amplitude $a$ und die Phase $\varphi$ werden durch die Anfangsbedingungen $x(0)$ und $\dot{x}(0)$ festgelegt.

Die Euler-Lagrange-Gleichungen (4.33) gelten in allen Koordinatensystemen, denn das Prinzip der extremalen Wirkung macht nicht Gebrauch von der Wahl von Koordinaten zur Beschreibung der Bahn. Fassen wir die Koordinaten $x$ als Funktionen $x(y)$ von anderen Koordinaten $y$ auf und schreiben wir die Lagrangefunktion um

$$\mathscr{L}^\prime(y,\dot{y},t)=\mathscr{L}(x(y),\frac{\partial x}{\partial y}\dot{y},t)\ ,$$ (4.34)

so gelten die Euler-Lagrange-Gleichungen in $y$-Koordinaten genau dann, wenn sie in $x$-Koordinaten erfüllt sind

$$\frac{\hat{\partial}\mathscr{L}^\prime}{\hat{\partial} y^m}= \fra... ...tial x^n}{\partial y^m} \frac{\hat{\partial}\mathscr{L}}{\hat{\partial} x^n}\ .$$ (4.35)

Eine Funktion $\mathscr{L}$ der Jet-Variablen läßt sich genau dann als vollständige Ableitung schreiben, wenn ihre Eulerableitung als Funktion der Jet-Variablen verschwindet. Es ist klar, daß die Eulerableitung von $\mathscr{L}=\frac{d}{dt}K(t,x) =\partial_t K + \dot{x}\partial_x K$ verschwindet, denn dann ändert sich die Wirkung nur um Randterme $\delta \mathscr{L}= \frac{d}{dt}\delta K$. Um die Umkehrung zu zeigen, schreiben wir die Lagrangefunktion als Integral über ihre Ableitung

$$\mathscr{L}(x,\dot{x},t) = \mathscr{L}(0,0,t) + \int_0^1\! d\lambda\, \frac{\partial}{\partial \lambda}\mathscr{L}(\lambda x, \lambda \dot{x},t)\ .$$ (4.36)

Die Ableitung der Lagrangefunktion nach $\lambda$ ist gemäß (4.27)

$$\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \lambda}(\lambda x,\lambda \... ...{\partial \dot{x}^m} \bigr \arrowvert_{(\lambda x,\lambda \dot{x},t)}\bigl )\ .$$ (4.37)

Demnach schreibt sich die Lagrangefunktion als

$$\mathscr{L}(x,\dot{x},t)= x^m \int_0^1\! d\lambda\, \frac{\hat{\p... ...a x,\lambda \dot{x},t)} + \int^t dt^\prime \mathscr{L}(0,0,t^\prime) \bigr )\ .$$ (4.38)

Dies ist eine vollständige Zeitableitung, falls die Eulerableitung der Lagrangefunktion identisch in den Jet-Variablen für alle $(\lambda x,\lambda \dot{x}, t)$ verschwindet.