Symmetrien und Erhaltungsgrößen

Das Relativitätsprinzip wird manchmal als Forderung ,,Alle physikalischen Gesetze sind in allen Inertialsystemen die gleichen`` formuliert. Diese Forderung ist schlecht definiert. So sind alle Euler-Lagrange-Gleichungen (4.33) invariant unter allgemeinen Koordinatentransformationen, wenn man dabei die Lagrangefunktion $\mathscr{L}$ in $\mathscr{L}^\prime$ transformiert (4.35).

Wohldefiniert ist hingegen die Forderung nach Symmetrie der Wirkung. Das Relativitätsprinzip besagt: ,,Die Wirkung physikalischer Systeme ist lokal und invariant unter Poincaré-Transformationen``. Aus der Invarianz der Wirkung folgen Einschränkungen an die Lagrangefunktion und, wie das Noethertheorem zeigt, die Erhaltung von Energie, Impuls, Drehimpuls und Schwerpunktsgeschwindigkeit.

Um zu definieren, was eine Symmetrie oder Invarianz der Wirkung ist, betrachten wir kontinuierliche Transformationen von Kurven,

$$T_\alpha : x(t) \mapsto T_\alpha x (t)\ .T_\alpha x^m (t) = x^m(t) + \alpha c^m \intertext{eine Kurve räumlich in Richtung $c^m$\ verschoben oder durch} T_\alpha x^m (t) = x^m(t+\alpha) \intertext{zeitlich verschoben und durch} \begin{pmatrix}T_\alpha x(t)\\ T_\alpha y(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos \alpha& - \sin \alpha\\ \sin \alpha& \phantom{-} \cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x(t)\\ y(t) \end{pmatrix} \ .$$ (4.39)

um einen Winkel $\alpha$ gedreht. Der Transformationsparameter $\alpha$ sei so gewählt, daß $\alpha = 0$ zur identischen Abbildung gehört, $T_0 x(t)=x(t)$.

Bei kontinuierlichen Transformationen können wir, anders als zum Beispiel bei Spiegelungen, nach dem Transformationsparameter ableiten. Wir bezeichnen als infinitesimale Transformation oder als Änderung von $x^m$ die Ableitung $\partial_\alpha$ der transformierten Bahn $T_\alpha x$ nach dem Transformationsparameter bei $\alpha = 0$

$$\delta x^m = {\partial_\alpha} T_\alpha x^m{}_{\vert _{\alpha=0}}\ .$$ (4.40)

Analog definieren wir die Änderung der Wirkung $W[T_\alpha x]$ als Ableitung nach dem Transformationsparameter $\alpha$. Nach Definition der Variationsableitung ändert sich $W$ um

$$\delta W = \int\! dt\ \bigl ({\partial_\alpha}T_\alpha x^m{}_{\vert _{\alpha=0}} \bigr ) \frac{\delta W}{\delta x^m}+ \ .$$ (4.41)

Die Transformation $T_\alpha$ heißt Symmetrie der Wirkung $W[x]$, wenn sich die Wirkung nur um Randterme ändert, das heißt genauer [31], wenn sich der Integrand in (4.44) für alle Bahnen $x^m$ als Ableitung einer Funktion $Q$ der Zeit und der Jet-Variablen schreiben läßt

$$\delta x^m \frac{\delta W}{\delta x^m} + \frac{d}{dt}Q=0\ .$$ (4.42)

Die physikalisch durchlaufenen Bahnen erfüllen die Bewegungsgleichungen $\frac{\delta W}{\delta x^m}=0$, auf physikalischen Bahnen ist daher $Q$ zeitunabhängig. Zu jeder kontinuierlichen Symmetrie der Wirkung gehört eine Erhaltungsgröße $Q\,$!

Die Lagrangefunktion $\mathscr{L}$ einer lokalen Wirkung ändert sich bei infinitesimalen Symmetrietransformationen wegen (4.27) und (4.32) um eine Zeitableitung

$$\delta \mathscr L = \frac{d}{dt}K\ ,$$ (4.43)

$$0= \delta x^m \frac{\hat{\partial} \mathscr{L}}{\hat{\partial}x^m... ...partial\dot{x}^m}\bigr ) + \frac{d}{dt}{Q}= \delta \mathscr{L}-\frac{d}{dt}K\ ,$$ (4.44)

mit $K=\delta x^m\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\dot{x}^m}-Q$. Die Erhaltungsgröße $Q$, die Noetherladung, ist also

$$Q= \delta x^m\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\dot{x}^m} - K\ .$$ (4.45)

Bei einer lokalen Wirkung kann man für jede gegebene infinitesimale Transformation $\delta x^m$ nach Ausrechnen von $\delta \mathscr{L}$ leicht entscheiden, ob sie zu einer kontinuierlichen Symmetrie gehört. Die Funktion $\delta \mathscr{L}$ der Jet-Variablen läßt sich genau dann als Ableitung $\frac{d}{dt}K$ schreiben, wenn die Eulerableitung von $\delta \mathscr{L}$ verschwindet (4.38).

Umgekehrt gehört zu jeder Erhaltungsgröße eine kontinuierliche Symmetrie der Wirkung! Denn eine Funktion $\overline{Q}(x,\dot{x}, t)$ der Zeit und der Jet-Variablen ist eine Erhaltungsgröße, wenn ihre Zeitableitung aufgrund der Bewegungsgleichungen verschwindet, also wenn sich ihre Zeitableitung als Vielfaches der Funktionalableitung der Wirkung und eventuell von den Ableitungen der Funktionalableitungen^4.5schreiben läßt

$$\frac{d}{dt}{\overline{Q}}(x,\dot{x}, t)+ R^m_0 \frac{\delta W}{\delta x^m} + R^m_1 \frac{d}{dt} \frac{\delta W}{\delta x^m} = 0\ .$$ (4.46)

Die Größen $R^m_0$ und $R^m_1$ hängen auf nicht weiter festgelegte Art von der Zeit und den Jet-Variablen ab. Fassen wir die Terme mit der Produktregel zusammen, so ist die Definitionsgleichung einer Erhaltungsgröße die Definition einer infinitesimale Symmetrie (4.45)

$$\frac{d}{dt}\bigl ( \overline{Q} + R^m_1 \frac{\delta W}{\delta x... ...} + \bigl ( R^m_0 - \frac{d}{dt} R^m_1 \bigr ) \frac{\delta W}{\delta x^m}=0\ .$$ (4.47)

Die Wirkung ist also unter der infinitesimalen Transformation

$$\delta x^m = R^m_0 - \frac{d}{dt} R^m_1$$ (4.48)

bis auf Randterme invariant. Die Erhaltungsgröße $Q$ stimmt auf physikalischen Bahnen mit $\overline{Q}$ überein

$${Q}=\overline{Q}(x,\dot{x},t) + R^m_1 \frac{\delta W}{\delta x^m}\ .$$ (4.49)

Der Zusammenhang von Symmetrien und Erhaltungsgrößen (4.48) ist von Emmy Noether 1918 formuliert worden.

Noethertheorem 1   Zu jeder kontinuierlichen Symmetrie der Wirkung gehört eine Erhaltungsgröße. Umgekehrt gehört zu jeder Erhaltungsgröße eine Symmetrie der Wirkung.

Am Noethertheorem ist nichts zu beweisen, man muß nur erkennen, daß die Definition (4.45) einer Symmetrie der Wirkung eine Erhaltungsgröße definiert und daß umgekehrt die Definition einer Erhaltungsgröße eine Symmetrie definiert. Das Theorem ist deshalb wichtig, weil häufig Symmetrien der Wirkung offensichtlich sind und als geometrische Eigenschaft einfach durch Ansehen gefunden werden können.

Erhaltungsgrößen sind ausschlaggebend für die Frage, ob die Bewegungsgleichungen integrabel sind, das heißt, ob sich die Lösungen durch Rechenoperationen wie Integrieren gegebener Funktionen und Auflösen implizit gegebener Funktionen angeben lassen. Betreffen die Bewegungsgleichungen $N$ Freiheitsgrade, so sind die Gleichungen genau dann integrabel, wenn es $N$ unabhängige Erhaltungsgrößen $Q_i$, $i=1,2,\dots,N$ gibt, deren zugehörige infinitesimale Transformationen $\delta_i$, hintereinander ausgeführt, wie Verschiebungen in ihrer Reihenfolge vertauscht werden dürfen, $\delta_i\delta_j = \delta_j\delta_i$.^4.6Ändert man integrable Bewegungsgleichungen durch Zusatzterme ab, so führen solche Störungen integrabler Bewegung, selbst wenn sie klein sind, zu chaotischen Bahnen, die im Raum aller Bahnen zwar kleines Maß haben, aber dicht liegen. Die Herleitung und Diskussion dieser wichtigen Erkenntnisse füllt Bücher [32,33,34,35], auf die hier nur verwiesen sei.

Über die Tatsache hinaus, daß Symmetrien der Wirkung mit Erhaltungsgrößen zusammenhängen, sind Symmetrien wichtig, weil man aus einer Lösung der Bewegungsgleichungen durch Symmetrietransformationen weitere Lösungen gewinnen kann. Zum Beispiel erhält man in der Allgemeinen Relativitätstheorie das Gravitationsfeld einer gleichförmig bewegten Masse aus demjenigen der ruhenden Masse durch eine Lorentztransformation.

Transformationen, die Lösungen von Bewegungsgleichungen auf Lösungen abbilden, sind nicht unbedingt Symmetrien der Wirkung. Zum Beispiel werden die Lösungen $x(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v_0 t+ x_0$ der Bewegungsgleichung $\ddot{x}=-g$ eines senkrecht fallenden Teilchens durch $T_\alpha x(t)=\mathrm{e}^{2\alpha} x(\mathrm{e}^{-\alpha}t)$ auf Lösungen abgebildet, aber die infinitesimale Transformation $\delta x = 2 x - t\dot{x}$ läßt die Lagrangefunktion ${\mathscr L}=\frac{1}{2}m\dot{x}^2-mgx$ nicht invariant, $\delta \mathscr{L}=\frac{d}{dt}(-t\mathscr{L})+3\mathscr{L}$.

Die kinetische Energie $E_{\text{kin}}=\frac{1}{2}m \dot{\vec{x}}^{\,2}$ eines nichtrelativistischen Teilchens ist invariant unter Drehungen und Verschiebungen. Sie hängt nicht davon ab, wo das sich bewegende Teilchen ist und nicht davon, in welche Richtung es sich bewegt. Besteht die Lagrangefunktion aus solch einer verschiebungsinvarianten kinetischen Energie und ist die potentielle Energie in einer Richtung $c^k$ konstant $V(x^k)=V(x^k+\alpha c^k)$, so ist die Lagrangefunktion unter der Verschiebung (4.40) invariant, $\delta\mathscr{L}= 0\,$.

Die zur infinitesimalen Verschiebung $\delta x^k = c^k$ gehörige Erhaltungsgröße (4.48)

$$c^k\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{x}^k}=c^k p^k\ ,\quad p^k = m \dot{x}^k$$ (4.50)

ist definitionsgemäß der nichtrelativistische Impuls $\vec{p}$ in Richtung des Vektors $\vec{c}$. Verschiebungsinvarianz ist die Ursache von Impulserhaltung.

Eine Variable $x$, die in der Lagrangefunktion nur mit ihrer Geschwindigkeit $\dot{x}$ auftritt, heißt zyklische Variable

$$x \Leftrightarrow \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial x}= 0\ .$$ (4.51)

Ist $x$ zyklisch, so ist die Lagrangefunktion invariant unter der infinitesimalen Translation $\delta x=1$, $\delta \dot{x}= 0$, und die Noether-Ladung (4.48) stimmt mit dem zu $x$ kanonisch konjugierten Impuls überein, $Q = \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{x}}$. Er ist wegen der Euler-Lagrange-Gleichungen (4.33) offensichtlich erhalten

$$\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial x}=0 \quad \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial x}- \frac{d}{dt}\frac{... ...\Rightarrow\quad \frac{d}{dt}\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{x}}=0\ .$$ (4.52)

Ist die Wirkung invariant unter Drehungen um eine Achse $\vec{n}$ (4.42), so ist die zugehörige Noether-Ladung definitionsgemäß der Drehimpuls $\vec{n}\cdot\vec{L}$ in Richtung dieser Achse.

Zur Zeitverschiebung (4.41) gehört gemäß (4.43) die infinitesimale Transformation

$$\delta x^k = \dot{x}^k\ .$$ (4.53)

Dies ist eine infinitesimale Symmetrie der Wirkung, falls die Lagrangefunktion $\mathscr{L}(x,\dot{x},t)$ nicht von $t$ abhängt, $\partial_t \mathscr{L}= 0$, denn dann gilt

$$\delta \mathscr{L}= \delta x^k \ \partial_{x^k} \mathscr{L}+ (\fr... ...r{L}= \frac{d\mathscr{L}}{dt}-\partial_t\mathscr{L}=\frac{d\mathscr{L}}{dt}\, ,$$

also (4.47) mit $K=\mathscr{L}$.

Die zur Symmetrie unter Zeitverschiebung gehörige Noether-Ladung (4.48)

$$E= \dot{x}^k \frac{\partial }{\partial \dot{x}^k}\mathscr{L}- \mathscr{L}$$ (4.54)

ist definitionsgemäß die Energie $E$. Sie ist erhalten, wenn die Lagrangefunktion nicht von der Zeit abhängt.

Aus dem Ausdruck für die Energie folgt (4.18), wie sich die Lagrangefunktion aus den Anteilen $E_n$ der Energie zusammensetzt, die homogen vom Grad $n$ in den Geschwindigkeiten $\dot{x}$ sind. Der Operator $\dot{x}\partial_{\dot{x}}$ zählt den Homogenitätsgrad ab: $\dot{x}\partial_{\dot{x}} (\dot{x})^n= n (\dot{x})^n$. Jeder Term $E_n$ in der Energie, der $n$ Faktoren $\dot{x}$ enthält, $n\ne 1$, muß in der Lagrangefunktion mit Vorfaktor $1/(n-1)$, erscheinen, damit (4.57) $E=\sum_n E_n$ lautet.

Die Definition (4.57) der Energie kann als Definition der Hamiltonfunktion gelesen werden

$$\mathscr{H}(x,p)= \dot{x}^k p_k - \mathscr{L}(x,\dot{x})\, ,\quad p_k=\partial_{\dot{x}^k}\mathscr{L}\ .$$ (4.55)

Dabei werden statt des Ortes $x^n$ und der Geschwindigkeit $\dot{x}^k$ die Phasenraumvariablen, der Ort $x^n$ und der kanonisch konjugierte Impuls $p_k$, als unabhängig betrachtet und die Geschwindigkeiten $\dot{x}^k(x,p)$ als Umkehrfunktionen von $p_k = \partial_{\dot{x}^k}\mathscr{L}(x,\dot{x})$ aufgefaßt.

In Phasenraumvariablen lautet die Hamiltonfunktion des harmonischen Oszillators

$$\mathscr{H}_{\text{Oszillator}}= \frac{p^2}{2m}+\kappa \frac{ x^2}{2}\, .$$ (4.56)

Formuliert man die Bewegung von Teilchen im Phasenraum, so hat ihre Zeitentwicklung die Eigenschaft, flächentreu bezüglich des Flächenmaßes $dp_i dx^i-dHdt$ zu sein [32]. Auf dieser wichtigen geometrischen Eigenschaft beruht das Kolmogorov-Arnold-Moser-Theorem [33] und die daraus folgenden Schlüsse, daß schon kleine Störungen integrabler Bewegungen zu chaotischen Bahnen führen [34,35], die im Raum aller Bahnen dicht liegen, aber geringes Maß haben.