Eindimensionale Bewegung

Gilt für eine eindimensionale Bewegung ein Energiesatz $\frac{dE}{dt}=0$ und ist die Energie von der Form

$$E=\frac{1}{2}m\dot{x}^2 + V(x)$$ (4.57)

mit einem Potential $V$, so läßt sich die Zeit $t(x)$, zu der ein Bahnpunkt $x$ durchlaufen wird, als Integral angeben und die Bahn $x(t)$ als Umkehrfunktion von $t(x)$ ermitteln, $x(t(\hat{x}))=\hat{x}$. Denn wenn wir nach $\dot{x}$ auflösen und das Vorzeichen von $\dot{x}$ nach Bahnabschnitt wählen, je nachdem, ob $x$ zu- oder abnimmt, so erhalten wir für zunehmendes $x$

$$\frac{dx}{dt}=\sqrt{\frac{2}{m}(E-V(x))}\ .$$ (4.58)

Die Ableitung der Umkehrfunktion ist wegen $1=\frac{d}{d\hat{x}}\, x(t(\hat{x}))=\frac{dx}{dt}\frac{dt}{d\hat{x}}$ hierzu invers

$$\frac{dt}{dx}=\Bigl (\sqrt{\frac{2}{m}(E-V(x))}\Bigr )^{-1}\ ,$$ (4.59)

und die Zeit $t(\hat{x})$, zu der der Ort $\hat{x}$ durchlaufen wird, ergibt sich durch Integration

$$t(\hat{x})-t(\underline{x})=\int_{\underline{x}}^{\hat{x}}\!\! dx... ...{dx}= \int_{\underline{x}}^{\hat{x}}\! \frac{dx}{\sqrt{\frac{2}{m}(E-V(x))}}\ .$$ (4.60)

Alle lösbaren Bewegungsgleichungen sind deshalb lösbar, weil sie genügend viele Erhaltungsgrößen besitzen und weil sich mit den Erhaltungsgrößen die Lösungen wie bei eindimensionaler Bewegung als Umkehrfunktionen von Integralen über gegebene Funktionen ermitteln lassen.