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Gerade Weltlinien in der gekrümmten Raumzeit

Für jeden Beobachter steht ohne Bezug auf andere Körper auch im Vakuum fest, ob er frei fällt oder beschleunigt ist. Das kann er zum Beispiel an einer Sanduhr oder an mitgeführten Pendeln ablesen. Pendeln sie hin und her, so wirkt eine Beschleunigung senkrecht zur Drehachse, ansonsten kreisen Pendel mit konstanter Winkelgeschwindigkeit.

Ein Beobachter durchläuft im Laufe der Zeit eine Menge von Ereignissen. Diese Linie in der Raumzeit ist seine Weltlinie. Für jedes frei fallende Teilchen liegt diese Weltlinie fest, wenn man ein Ereignis angibt, das es durchläuft, und die Geschwindigkeit, mit der es durchlaufen wird. Dem entsprechen ein Punkt auf der Weltlinie und die Richtung, mit der die Weltlinie diesen Punkt durchläuft. Da diese Weltlinien nicht davon abhängen, welche Teilchen sie durchlaufen, denn alle Teilchen fallen gleich, definieren die Weltlinien frei fallender Teilchen eine geometrische Struktur, die Geraden der Raumzeit.

Wohlgemerkt, die Weltlinien freifallender Teilchen und von Licht sind Geraden der vierdimensionalen Raumzeit, aber die dabei räumlich durchlaufenen Bahnen sind nicht Geraden des dreidimensionalen Raumes. Durch jeden Punkt des Raumes gehen ja in jeder Richtung mit unterschiedlicher Geschwindigkeit unterschiedliche Wurfparabeln. Sie sind, anders als von Geraden zu fordern, nicht durch einen Punkt und eine Richtung festgelegt.

Unter diesen räumlichen Fallkurven kann man bei gleichbleibender Gravitation wiederum eine Klasse von Linien als Geraden auswählen und tut dies. Räumlich gerade sind die Bahnen von Licht. Ob eine Kante gerade ist, prüft man durch Vergleich mit Licht: man peilt an ihr entlang. Da Lichtstrahlen gravitativ abgelenkt werden, können sie sich mehrfach schneiden und genügen nicht dem Parallelenaxiom. Sie sind Geraden eines durch Gravitation gekrümmten Raumes. Wenn sich die Gravitation durch Bewegung der Massen mit der Zeit ändert, dann definieren die Lichtstrahlen keine Geraden mehr, denn dann durchläuft Licht auf dem Hinweg eine andere Bahn als auf dem Rückweg.

Abbildung 1.2: Geraden in der gekrümmten Raumzeit
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Zwar ist denkbar, in der Raumzeit andere Linien als Gerade zu bezeichnen, zum Beispiel solche Weltlinien, die in irgendeinem Koordinatendiagramm mit dem Lineal gezeichnet werden können. Aber solche Linien gehören nicht zur den geometrischen Eigenschaften der Raumzeit, denn Testteilchen durchlaufen solche andere Weltlinien nur, wenn man sie durch Kräfte dazu zwingt, die sich für verschiedene Teilchen unterscheiden. Die einzigen von der Natur allgemein ausgezeichneten Weltlinien sind die Weltlinien frei fallender Teilchen, dazu gehören auch die Weltlinien von Lichtpulsen im Vakuum.

Wer die Weltlinien frei fallender Teilchen gedanklich verfolgt, die in Abbildung 1.1 die Erde umlaufen, erkennt, daß die Raumzeit gekrümmt ist. Bezieht man, wie in Abbildung 1.2, in einem Diagramm der Raumzeit die Orte, die von den Teilchen im Laufe der Zeit durchlaufen werden, auf eines der Teilchen, so pendelt die ebenso gerade Weltlinie des zweiten Teilchens um die erste Weltlinie herum. Dies zeigt, daß die Raumzeit gekrümmt ist, denn gerade Weltlinien können sich wiederholt schneiden.

Grund für die Krümmung der Raumzeit und die relative Bewegung frei fallender Teilchen ist, daß die Gravitation nicht überall gleich ist: die Erdanziehung wirkt auf erdnähere Teilchen stärker und bei gleichem Abstand wirkt sie auf nebeneinander laufende Teilchen in verschiedene Richtung. An der unterschiedlichen Gravitation kann man Orte und Richtungen physikalisch unterscheiden. Beschränkt man sich aber auf so kurze Zeiten und so kleine räumliche Abstände, daß die Ungleichmäßigkeit der Gravitation sich bei gegebener Meßgenauigkeit nicht auswirkt, so wird in einem mitfallenden Bezugssystem die Gravitation unmerklich. In genügend kleinen Raumzeitgebieten ist die Raumzeit nicht merklich gekrümmt und hat die geometrischen Eigenschaften eines flachen Raumes. Da man Gravitation nicht abschirmen kann, wir aber zunächst die damit zusammenhängenden Verwicklungen vermeiden möchten, beschränken wir uns in den ersten fünf Kapiteln auf so kleine Zeitspannen und Raumgebiete, daß gravitative Effekte nicht meßbar sind, oder wir berücksichtigen gedanklich die bekannten Auswirkungen der Gravitation und ziehen sie vom Verhalten physikalischer Systeme ab.

Wenn man alle äußeren Einflüsse abschirmt und gravitative Effekte vernachlässigt, dann kann man für ein Ereignis im Vakuum nicht seine Zeit und nicht seinen Ort ohne Bezug auf andere Ereignisse messen - sowenig man auf See geographische Länge ohne Bezug auf Sonnenstand und Uhrzeit in Greenwich oder ohne GPS bestimmen kann. Denn physikalische Vorgänge laufen überall und jederzeit gleich ab. Die Raumzeit ist homogen. Ebenso sind alle räumlichen Richtungen gleich. Die Raumzeit ist isotrop.




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