Keplerbahnen

Als Beispiel einer nichtrelativistischen Bewegung, die durch Erhaltungssätze festgelegt wird, bestimmen wir die Bahnen zweier Teilchen mit Massen $m_1$ und $m_2$, die sich gegenseitig durch ein Potential $V(\vert\vec{r}_1-\vec{r_2}\vert)$ beeinflussen, das nur von ihrem Abstand abhängt.

Die Lagrangefunktion ist die Differenz von kinetischer und potentieller Energie

$$\mathscr{L}_{\text{2-Teilchen}}=\frac{1}{2}m_1 \dot{\vec{r}}_1{}^2 + \frac{1}{2}m_2 \dot{\vec{r}}_2{}^2 -V(\vert\vec{r}_1-\vec{r_2}\vert)\ .$$ (4.61)

In Schwerpunkts- und Relativkoordinaten

$$\vec{R}=\frac{m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2}{m_1+m_2}\ ,\quad \vec{r}=\vec{r}_1-\vec{r}_2\ ,$$ (4.62)

schreiben sich die Koordinaten der Teilchen als

$$\vec{r}_1=\vec{R}+\frac{m_2}{m_1+m_2}\vec{r}\ ,\quad \vec{r}_2=\vec{R}-\frac{m_1}{m_1+m_2}\vec{r}\ ,$$ (4.63)

und die Lagrangefunktion $\mathscr{L}_{\text{2-Teilchen}}=\mathscr{L}_S+\mathscr{L}$ als Summe einer Lagrangefunktion für den Schwerpunkt und für die Relativbewegung,

$$\mathscr{L}_S=\frac{1}{2}M \dot{\vec{R}}^{\,2}\ ,\quad \mathscr{L}= \frac{1}{2}m \dot{\vec{r}}^{\,\,2}-V(\vert\vec{r}\vert)\ .$$ (4.64)

Dabei ist $M=m_1+m_2$ die Gesamtmasse, $m={m_1m_2}/M$ ist die reduzierte Masse.

Die Schwerpunktskoordinaten $\vec{R}$ sind zyklisch, der zugehörige Impuls $\vec{P}=M\dot{\vec{R}}$ ist erhalten, und der Schwerpunkt bewegt sich gradlinig mit konstanter Geschwindigkeit

$$\vec{R}(t)=\vec{V}t + \vec{R}(0)\ .$$ (4.65)

Die Relativbewegung verläuft unabhängig von der Schwerpunktsbewegung wie die Bewegung eines Teilchens mit reduzierter Masse in einem drehinvarianten Potential. Insbesondere ist die Lagrangefunktion $\mathscr{L}$ invariant unter infinitesimalen Drehungen (D.12)

$$\delta \vec{r}=\vec{e}\times \vec{r}$$ (4.66)

um jede Achse $\vec{e}$. Dazu gehört die Erhaltungsgröße (4.48), der Drehimpuls in Richtung $\vec{e}$,

$$\vec{e}\cdot\vec{L}=(\vec{e}\times \vec{r})\cdot (m\,\dot{\vec{r}... ...r}}))\ ,\quad \vec{L}= \vec{r}\times(m\,\dot{\vec{r}})=\vec{r}\times \vec{p}\ .$$ (4.67)

Der Drehimpuls $\vec{L}$ steht senkrecht auf dem Ortsvektor des Teilchens, $\vec{L}\cdot \vec{r}=0$. Daher verläuft die Bahn in der Ebene durch den Ursprung, die senkrecht auf $\vec{L}$ steht. Die Bahnebene ist zeitunabhängig, weil die Richtung des Drehimpulses $\vec{L}$ konstant ist.

Mit Kugelkoordinaten (2.26)

$$\vec{r} = (r\sin\theta \cos\varphi,r\sin\theta \sin\varphi,r\cos\theta)$$ (4.68)

vereinfacht sich die weitere Untersuchung der Bahn. Man berechnet elementar die kinetische Energie der Relativbewegung und damit die Lagrangefunktion

$$\mathscr{L}=\frac{1}{2}m\,(\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2 + r^2 \sin^2\theta\, \dot{\varphi}^2)-V(r)$$ (4.69)

und bestätigt, daß die Bewegung in einer Ebene, die wir mit $\theta(t)=\frac{\pi}{2}$, $\dot{\theta}=0$, als $z$-Ebene wählen, die $\theta$-Bewegungsgleichung löst

$$\frac{{\partial}\mathscr{L}}{{\partial}\theta}- \frac{d}{dt}\frac... ...^2 \sin\theta\cos\theta \dot{\varphi}^2 -\frac{d}{dt }(m r^2 \dot{\theta})=0\ .$$ (4.70)

Der Winkel $\varphi$ ist eine zyklische Variable, sein konjugierter Impuls $\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial\dot{\varphi}}=m r^2 \sin^2\theta\dot{\varphi}$ ist zeitunabhängig und, bei Bewegung in der $z$-Ebene $\theta =\frac{\pi}{2}$, der Drehimpuls

$$L=m r^2 \dot{\varphi}\ .$$ (4.71)

Ist sein Wert mit den Anfangsdaten der Bahn gegeben und ist die Radialbewegung $r(t)$ bekannt, dann auch $\varphi(t)$ als Integral von $L/(mr^2)$.

Da die Lagrangefunktion zeitunabhängig ist, ist die Energie (4.57) erhalten. Also ist

$$E=\frac{1}{2}m \dot{r}^2 + \frac{1}{2}m r^2 \dot{\varphi}^2+V(r)\ .$$ (4.72)

bei Bewegung in der $z$-Ebene zeitunabhängig. Ersetzen wir hier die Winkelgeschwindigkeit $\dot{\varphi}$ durch $L/(mr^2)$, so erhalten wir effektiv einen Energiesatz für die Radialbewegung, zu dem die kinetische Energie der Drehbewegung die Drehimpulsbarriere $L^2/(2mr^2)$ beiträgt,

$$E=\frac{1}{2}m \dot{r}^2 + V_{\text{eff}}(r)\ ,\quad V_{\text{eff}}(r)= \frac{L^2}{2mr^2}+V(r)\ .$$ (4.73)

Warnung: Wenn man Folgerungen aus den Bewegungsgleichungen wie $\dot{\varphi}=L/(mr^2)$ in die Lagrangefunktion einsetzt, erhält man nicht die Lagrangefunktion für die Bewegung der verbleibenden Freiheitsgrade. In die Lagrangefunktion $\mathscr{L}=E_{\text{kin}}-E_{\text{pot}}$ eingesetzt, trüge die Drehimpulsbarriere $L^2/(2mr^2)$ als Teil der kinetischen Energie mit falschem Vorzeichen zum effektiven Potential bei.

Falls es sich spezieller um das Gravitationspotential $V(r)=-{\alpha}/{r}$ beider Teilchen handelt - hierbei ist $\alpha=G\, m_1\, m_2$ und $G=6{,}67\cdot 10^{-11}\cubic\metre\reciprocal\kilogram\rpsquare\second$ [1,30] die Newtonsche Gravitationskonstante - und falls $L\ne 0$ und $V_{\text{eff, min}}< E<0$ ist, bestimmen wir zunächst die räumlich durchlaufene Bahn: den Radius $r$ als Funktion des Winkels $\varphi$. Mit $\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\varphi}=\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\varphi}\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}$ und $\dot{\varphi}=L/(mr^2)$ (4.74) gilt, während $r$ mit $\varphi$ zunimmt,

$$E-V_{\text{eff}} 1/r$$

$$\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\varphi}=\frac{mr^2}{L}\frac{\mathrm... ...2 m}{2 L^2}\ ,\quad u(r)=\frac{L}{\sqrt{2m\beta}}\,(\frac{1}{r}-\frac{1}{p})\ .$$ (4.74)

Für $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\varphi}=-\frac{L}{\sqrt{2m\beta}}\frac{1}{r^2}\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\varphi}$ gilt einfach $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\varphi}=-\sqrt{1-u^2}$ und für die Umkehrfunktion $\varphi(u)$

$$\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}u}=-\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$$ (4.75)

Man bestätigt durch Differenzieren, daß $\varphi(u) = \arccos(u) + \underline{\varphi}$ eine Stammfunktion ist und demnach $u=\cos(\varphi-\underline{\varphi})$ die Lösung $u(\varphi)$ ist. Wir wählen den Winkel $\varphi$ so, daß er beim minimalen Abstand verschwindet,

$$e\cos\varphi + 1 = \frac{p}{r}\ , \quad e=\sqrt{1+\frac{2EL^2}{m \alpha^2}}\ ,\quad p=\frac{L^2}{m\alpha}\ .$$ (4.76)

Dies ist für $0<e<1$, also für $V_{\text{eff, min}}< E<0$, eine Ellipse mit großer Halbachse $a$ und kleiner Halbachse $b$

$$a=\frac{p}{1-e^2}=\frac{\alpha}{2\vert E\vert}\ ,\quad b=\frac{p}{\sqrt{1-e^2}} = \frac{L}{\sqrt{(m\alpha)}}\sqrt{a}\ .$$ (4.77)

Denn schreibt man mit kartesischen Koordinaten $x=r\cos\varphi$ und $y=r\sin\varphi$ die Bahngleichung als $\sqrt{x^2+y^2}=p-e x$ und quadriert, so erhält man nach einfachem Umformen $(x+ea)^2/a^2 + y^2/b^2= 1$. Die Brennpunkte der Ellipse sind der Ursprung $(x,y)=(0,0)$ und $(x,y)=(-2ea,0)$: ihre Abstände $r$ und $\sqrt{(x+2ea)^2+y^2}$ zu den Ellipsenpunkten summieren sich überall zu $2a$, denn $(x+2ea)^2+y^2=(2a-r)^2$ gilt wegen $e\cos\varphi + 1 = p/r$.

Für Planetenbahnen im Gravitationspotential $-\alpha/r$ gilt also das Keplersche Gesetz: sie sind Ellipsen, bei denen die Sonne, genauer der Schwerpunkt, in einem der Brennpunkte steht. Zwischen minimalem Abstand, maximalem Abstand und wieder minimalem Abstand zur Sonne durchlaufen die Planeten den Winkel $\Delta \varphi=2\pi$.

Für $E>0$, $e>1$, handelt es sich um eine Hyperbel, auf der das Teilchen im Schwerpunktsystem um den Winkel $2\arccos (-1/e) -\pi=2 \arcsin (1/e)$ gestreut wird.

Die Fläche $F$, die der Differenzvektor $\vec{r}(t)$ überstreicht, setzt sich aus Kreissegmenten der Größe $\frac{1}{2}r^2 \mathrm{d}\varphi$ zusammen und ändert sich mit $\varphi(t)$ um

$$\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}t}= \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm... ...thrm{d}F}{\mathrm{d}\varphi}= \dot{\varphi}\,\frac{1}{2}\,r^2=\frac{L}{2\,m}\ .$$ (4.78)

Daß der Drehimpuls konstant, also die Flächengeschwindigkeit konstant ist, ist Keplers zweites Gesetz: In gleichen Zeiten überstreicht der Fahrstrahl zum Schwerpunkt, $m_2 \vec{r}/M$ (4.66), gleich große Flächen. Insbesondere überstreicht $\vec{r}$ in der Umlaufzeit $T$ die Fläche der Ellipse $LT/(2\,m)=\pi\, a \,b$. Mit $b=\sqrt{a}\, L/\sqrt{m\alpha}$ und $a^\prime=m_2\,a / M$ folgt daraus das dritte Keplersche Gesetz

$$T=\frac{2\pi }{\sqrt{G\,m_2}}\,\frac{m_1+m_2}{m_2} \,a^{\prime\,\frac{3}{2}}\ ,$$ (4.79)

daß sich die Quadrate der Umlaufzeiten wie die Kuben der großen Halbachsen $a^\prime$ der Planetenbahnen verhalten. Damit läßt sich aus der Beobachtung der Planetenbahnen die gravitativ wirkende Masse der Sonne $G\,m_{\text{Sonne}}$ ermitteln. Durch irdische Messung der Newtonschen Gravitationskonstanten $G$ schließlich bestimmt man die Sonnenmasse.