Senkrechter Fall

Falls der Drehimpuls verschwindet, $L=0$, und es sich um einen senkrechten Fall mit Maximalabstand $R$ handelt, löst man den Energiesatz

$$\frac{1}{2}\, m\,(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t})^2 - \frac{\alpha}{r} = -\frac{\alpha}{R}$$ (4.80)

wie in (4.62) nach $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}r}$ auf

$$\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}r} = - \Bigl ( \frac{2\alpha}{m\,R}\bigl(\frac{R}{r}-1\bigr ) \Bigr )^{-\frac{1}{2}}\ .$$ (4.81)

Den Vorfaktor absorbieren wir in der Funktion $f(r)=\sqrt{2\,\alpha/(m\,R)}\,t(r)$. Sie muß

$$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}r}=-\sqrt{\frac{r}{R-r}}\ .$$ (4.82)

erfüllen. Durch Ableiten bestätigt man, daß

$$f(r)=f(R)+\sqrt{r\,(R-r)}+R\arctan \sqrt{\frac{R-r}{r}}$$ (4.83)

die Stammfunktion ist. Demnach löst $t(r)=\sqrt{\frac{m R}{2\alpha}}f(r)$ die Bewegungsgleichung des senkrechten Falls. Ein Fall aus der Höhe $R_1=m_2\,R/M$ (4.66) über dem Schwerpunkt dauert

$$t(0)-t(R)=\frac{\pi}{\sqrt{G\,(m_1+m_2)}}\, (\frac{R}{2})^{\frac{... ...rac{\pi}{\sqrt{G\,m_2}}\,\frac{m_1+m_2}{m_2}\, (\frac{R_1}{2})^{\frac{3}{2}}\ .$$ (4.84)

Der Funktionsgraph $\Gamma: r \mapsto (f(r),r)$ der Lösung (4.88) ist die Abrollkurve eines Kreises mit Radius $R/2$. Dies zeigt sich, wenn man $r$ als Funktion

$$r(\varphi)=\frac{R}{2}\,(1+\cos\varphi)$$ (4.85)

eines Winkels $\varphi$, $0\le \varphi\le \pi/2$, auffaßt. Dann vereinfacht sich $f(r(\varphi))$ mit (3.22)

$$\sqrt{\frac{R-r}{r}}= \sqrt{\frac{1-\cos\varphi}{1+\cos\varphi}}=\tan \frac{\varphi}{2}\ .$$ (4.86)

Daher ist der letzte Term in (4.88) einfach $R\,\varphi/2$. Der vorletzten Term hat den Wert $\sqrt{r(R-r)}=(R/2)\sin\varphi$, und, wenn wir einfachheitshalber $f(R)=0$ wählen, gilt

$$f(r(\varphi))= \frac{R}{2}\,(\varphi + \sin\varphi)\ .$$ (4.87)

Es ist aber die Kurve

$$\varphi\mapsto \begin{pmatrix}f(r(\varphi))\\ r(\varphi) \end{pma... ...\ -\sin\varphi & \cos \varphi \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}$$ (4.88)

eine Zykloide, nämlich die Summe des Ortsvektors $R/2\, (\varphi,1)$ des Mittelpunkts eines Kreises mit Radius $R/2$, der sich in Höhe $R/2$ mit zunehmendem $\varphi$ um die Kreisbogenlänge $R\,\varphi/2$ nach rechts bewegt, und dem Vektor $R/2\, (\sin\varphi, \cos\varphi)$, der für $\varphi=0$ vom Mittelpunkt zum oberen Kreispunkt zeigt und mit zunehmendem $\varphi$ im Uhrzeigersinn um den Winkel $\varphi$ gedreht wird.