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Senkrechter Fall

Falls der Drehimpuls verschwindet, $ L=0$, und es sich um einen senkrechten Fall mit Maximalabstand $ R$ handelt, löst man den Energiesatz

$\displaystyle \frac{1}{2}\, m\,(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t})^2 - \frac{\alpha}{r} = -\frac{\alpha}{R}$ (4.80)

wie in (4.62) nach $ \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}r}$ auf

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}r} = - \Bigl ( \frac{2\alpha}{m\,R}\bigl(\frac{R}{r}-1\bigr ) \Bigr )^{-\frac{1}{2}}\ .$ (4.81)

Den Vorfaktor absorbieren wir in der Funktion $ f(r)=\sqrt{2\,\alpha/(m\,R)}\,t(r)$. Sie muß

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}r}=-\sqrt{\frac{r}{R-r}}\ .$ (4.82)

erfüllen. Durch Ableiten bestätigt man, daß

$\displaystyle f(r)=f(R)+\sqrt{r\,(R-r)}+R\arctan \sqrt{\frac{R-r}{r}}$ (4.83)

die Stammfunktion ist. Demnach löst $ t(r)=\sqrt{\frac{m R}{2\alpha}}f(r)$ die Bewegungsgleichung des senkrechten Falls. Ein Fall aus der Höhe $ R_1=m_2\,R/M$ (4.66) über dem Schwerpunkt dauert

$\displaystyle t(0)-t(R)=\frac{\pi}{\sqrt{G\,(m_1+m_2)}}\, (\frac{R}{2})^{\frac{...
...rac{\pi}{\sqrt{G\,m_2}}\,\frac{m_1+m_2}{m_2}\, (\frac{R_1}{2})^{\frac{3}{2}}\ .$ (4.84)

Der Funktionsgraph $ \Gamma: r \mapsto (f(r),r)$ der Lösung (4.88) ist die Abrollkurve eines Kreises mit Radius $ R/2$. Dies zeigt sich, wenn man $ r$ als Funktion

$\displaystyle r(\varphi)=\frac{R}{2}\,(1+\cos\varphi)$ (4.85)

eines Winkels $ \varphi$, $ 0\le \varphi\le \pi/2$, auffaßt. Dann vereinfacht sich $ f(r(\varphi))$ mit (3.22)

$\displaystyle \sqrt{\frac{R-r}{r}}= \sqrt{\frac{1-\cos\varphi}{1+\cos\varphi}}=\tan \frac{\varphi}{2}\ .$ (4.86)

Daher ist der letzte Term in (4.88) einfach $ R\,\varphi/2$. Der vorletzten Term hat den Wert $ \sqrt{r(R-r)}=(R/2)\sin\varphi$, und, wenn wir einfachheitshalber $ f(R)=0$ wählen, gilt

$\displaystyle f(r(\varphi))= \frac{R}{2}\,(\varphi + \sin\varphi)\ .$ (4.87)

Es ist aber die Kurve

$\displaystyle \varphi\mapsto \begin{pmatrix}f(r(\varphi))\\ r(\varphi) \end{pma...
...\ -\sin\varphi & \cos \varphi \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}$ (4.88)

eine Zykloide, nämlich die Summe des Ortsvektors $ R/2\, (\varphi,1)$ des Mittelpunkts eines Kreises mit Radius $ R/2$, der sich in Höhe $ R/2$ mit zunehmendem $ \varphi$ um die Kreisbogenlänge $ R\,\varphi/2$ nach rechts bewegt, und dem Vektor $ R/2\, (\sin\varphi, \cos\varphi)$, der für $ \varphi=0$ vom Mittelpunkt zum oberen Kreispunkt zeigt und mit zunehmendem $ \varphi$ im Uhrzeigersinn um den Winkel $ \varphi$ gedreht wird.




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