Energie, Impuls und Drehimpuls

Die Wirkung (4.14) des freien, relativistischen Teilchens ist invariant unter Translationen $x^m \mapsto x^m - \alpha^m$. Dazu gehören vier infinitesimale Translationen $\delta_n\; ,\ n=0,\dots ,3$, die jeweils die zugehörige Koordinate verschieben^4.7

$$\delta_n x^m = - \delta^m{}_n\ .$$ (4.89)

Die Lagrangefunktion in (4.14) $\mathscr{L}=-m c \sqrt{\bigl ( \frac{dx}{ds}\bigr ) ^2}$ ist unter diesen Translationen invariant, die Größe $K$ in den Noether-Ladungen (4.48) ist Null. Die zu Translationen $\delta_n$ gehörigen Erhaltungsgrößen sind die vier Komponenten des Viererimpulses^4.8

$$p_n=-\frac{\partial}{\partial \dot{x}^n}\mathscr{L}= m c\, \frac{\displaystyle \frac{dx_n}{ds}}{\sqrt{\bigl( \frac{dx}{ds}\bigr )^2 }}\ .$$ (4.90)

Der Viererimpuls hängt nicht von der Parametrisierung der Weltlinie ab. Wir wählen $s=t$, und erhalten wegen $x^0=ct$ und $\vec{v}=\frac{d\vec{x}}{dt}$ den Viererimpuls (3.45)

$$\begin{split}p^0 =& \frac{m c}{\sqrt{1-\frac{\vec{v}^{\,2}}{c... ...c{m \vec{v}}{\sqrt{1-\frac{\vec{v}^{\,2}}{c^2}}}\ . \end{split}$$ (4.91)

Die Nullkomponente des Viererimpulses, $p^0$, ist bis auf einen Faktor $c$ die Energie $E=c p^0$. Es ist ja $p^0$ die Erhaltungsgröße zu Translationen von $x^0=ct$ und $E$ die Erhaltungsgröße, die zu Translationen von $t$ gehört. $\vec{p}= (p^1,p^2,p^3)$ ist der räumliche Impuls.

Die Wirkung für $N$ freie Teilchen ist einfach die Summe von Wirkungen (4.14), wobei das $i$-te Teilchen die Bahnkurve $x_{(i)}(t)\ ,\ i=1,\dots,N$, durchläuft

$$W[x_{(1)},\dots,x_{(N)}]= \sum_{i=1}^N - m_i c \int\!ds \,\sqrt{\Bigl (\frac{dx_{(i)}}{ds}\Bigr )^2}\ .$$ (4.92)

Selbstverständlich bleibt der Gesamtimpuls

$$p^m=\sum_{i=1}^N p_{(i)}^m$$ (4.93)

erhalten, denn schon jeder einzelne Viererimpuls ist wegen fehlender Wechselwirkung der Teilchen eine Erhaltungsgröße. Aber anders als die einzelnen Impulse bleibt der Gesamtimpuls auch bei Wechselwirkung eine Erhaltungsgröße, wenn die Wechselwirkung invariant unter Translationen von Raum und Zeit ist. Dies besagt das Noethertheorem (Seite ). Wenn man den Beitrag der Wechselwirkung zum Impuls bei weit voneinander entfernten Teilchen vernachlässigen kann, so ist dieser erhaltene Impuls durch die Summe (4.98) der Impulse der einzelnen, genügend weit voneinander entfernten Teilchen gegeben. Daß bei wechselwirkenden Teilchen die Energie und der räumliche Impuls erhalten bleiben, ist in allen relevanten Experimenten und Beobachtungen bestätigt. Gemäß Noethertheorem besagt diese beobachtete Energie- und Impulserhaltung, daß die Wirkung unter Verschiebungen in der Raumzeit invariant ist oder, anschaulicher formuliert, daß kein physikalischer Effekt ein Ereignis als Ursprung in der Raumzeit auszeichnet.

Allerdings bedurfte es einer ,,verzweifelten Hypothese`` von Pauli, der ein Neutrino als zusätzlichen Buchungsposten einführte, um die Energie-Impuls-Bilanz beim Betazerfall auszugleichen. Jahrzehnte später wurde das Neutrino, mittlerweile genauer 3 Arten von Neutrinos, nachgewiesen und seine postulierten Eigenschaften experimentell bestätigt.

Energie- und Impulserhaltung gilt nicht in der Allgemeinen Relativitätstheorie, wenn die Metrik nicht invariant unter Translationen ist. Zum Beispiel kühlt im expandierenden Universum, dessen Metrik zeitabhängig ist, die Hintergrundstrahlung ab, ohne daß die dabei abnehmende Energie woanders erscheint. Der fehlenden Energieerhaltung entspricht die fehlende Invarianz unter Zeittranslationen: die Zeitentwicklung des Universums zeichnet den Urknall als besonderes Ereignis aus.

Weil Skalarprodukte $x\cdot y=x^0y^0-x^1y^1-x^2y^2-x^3y^3=x^k y^l \eta_{kl}$ (2.43)

$$\eta_{kl}=\left\{ \begin{array}{r c l} 0& \mbox{falls}& k\neq l\ ... ...{falls}& k=l=0\ , \\ -1& \mbox{falls}& k=l\in\{1,2,3 \}\ , \end{array} \right .$$ (4.94)

unter Lorentztransformationen $x^k \mapsto \Lambda^k{}_n x^n$ invariant sind, sind die Koeffizienten $\omega^k{}_n$ jeder infinitesimalen Lorentztransformation

$$\delta_\omega x^k = \omega^k{}_n x^n$$ (4.95)

multipliziert mit $\eta_{mk}$ Matrixelemente einer antisymmetrischen Matrix

$$\omega_{mn}=\eta_{mk}\omega^k{}_n= -\omega_{nm}\ .$$ (4.96)

Denn für alle $x^k$ und $y^l$ gilt

$$0 = \delta_\omega (x^k y^l \eta_{kl}) = (\delta_\omega x^k y^l + ... ...ta_{nl} + \omega^n{}_l \eta_{kn} ) x^k y^l= (\omega_{lk}+\omega_{kl})x^k y^l\ .$$ (4.97)

Hierbei haben wir für die infinitesimalen Transformationen, die Ableitungen nach den Transformationsparametern sind, die Produktregel verwendet.

Weil Lorentztransformationen Skalarprodukte invariant lassen, ist auch die Lagrangefunktion $-mc \sqrt{(\frac{dx}{ds})^2}$ (4.14) unter infinitesimalen Lorentztransformationen invariant. Gemäß Noethertheorem gehört zu dieser Invarianz die Erhaltungsgröße

$$Q_\omega = \delta_\omega x^n \frac{\partial}{\partial \dot{x}^n}\... ...L} = -\, \omega^n{}_m x^m p_n = \frac{1}{2}\,\omega_{mn} (x^m p^n - x^n p^m)\ .$$ (4.98)

Bei der letzten Umformung ist ausgenutzt worden, daß $\omega^n{}_m p_n = \omega_{nm} p^n$ gilt und daß aus (4.101) $\omega_{mn}x^m p^n= - \omega_{nm}x^m p^n = - \omega_{kl}x^l p^k = - \omega_{mn}x^n p^m$ folgt.

Da $Q_\omega$ für jedes antisymmetrische $\omega$ eine Erhaltungsgröße ist, sind insbesondere

$$M^{mn}= x^m p^n - x^n p^m \ ,\quad m,n = 0,1,2,3$$ (4.99)

Erhaltungsgrößen. Es ist $M^{mn}= - M^{nm}$ antisymmetrisch und nur 6 dieser Größen sind unabhängig.

Für $m,n = 1,2,3$ handelt es sich um die drei Komponenten des Drehimpulses

$$L_x = x^2 p^3 - x^3 p^2\ ,\quad L_y = x^3 p^1 - x^1 p^3\ ,\quad L_z = x^1 p^2 - x^2 p^1\ ,\quad \vec{L}= \vec{x}\times \vec{p}\ .$$ (4.100)

Ebenso wie Translationsinvarianz die Erhaltung von Energie und Impuls von wechselwirkenden Teilchen sichert, so hat Lorentzinvarianz, spezieller Invarianz unter der Untergruppe der Drehungen, die Erhaltung des Drehimpulses zur Folge.

Die Erhaltungsgrößen $M^{0j}$ für $j=1,2,3$ sind die mit der Gesamtenergie multiplizierten Koordinaten des anfänglichen Energieschwerpunktes

$$M^{0j}= t p^j - x^j p^0 = - x^j(0) p^0\ ,$$ (4.101)

denn die Größen $M^{0j}$ sind zeitunabhängig und können zur Zeit $t=0$ ausgewertet werden. Summieren wir $M^{0j}$ verschiedener Teilchen und verwenden wir, daß diese Summe auch bei wechselwirkenden Teilchen zeitunabhängig ist, so zeigt eine einfache algebraische Umformung den Schwerpunktsatz, daß sich der Energieschwerpunkt $\vec{X}={\sum \vec{x}p^0}/{\sum p^0}$ gradlinig gleichförmig mit der Schwerpunktsgeschwindigkeit $\vec{V}={\sum\vec{p}}/{\sum p^0}$ bewegt

$$\frac{\sum(t\vec{p}-\vec{x}p^0)}{\sum{p^0}}= -\frac{\sum \vec{x}(0)p^0}{\sum{p^0}} \Leftrightarrow \vec{X}(t)= \vec{V}t + \vec{X}(0)\ .$$ (4.102)

Unter Poincaré-$$Transformationen $x^\prime = \Lambda x + a$ transformieren die Erhaltungsgrößen $M^{mn}=\sum_i (x^m_{(i)}p^n_{(i)}-x^n_{(i)}p^m_{(i)})$ und $p^k=\sum_i p^k_{(i)}$ reduzibel

$$\begin{split}M^{\prime\, mn}=& \Lambda^m{}_k \Lambda^n{}_l M^... ..._l) p^l\ ,\\ p^{\prime\, k} =& \Lambda^k{}_l p^l\ , \end{split}$$ (4.103)

denn der Unterraum $p^{k}=0$ wird auf sich abgebildet, aber nicht vollständig reduzibel, denn es gibt keinen komplementären Unterraum, der ebenfalls auf sich abgebildet wird.

Die Transformation des Drehimpulses unter Translationen, $\vec{L}^{\,\prime}=\vec{L} + \vec{a}\times\vec{p}$, ist der Satz von Steiner.