Kovariante Maxwellgleichungen

Elektrische und magnetische Felder $\vec{E}(x)$ und $\vec{B}(x)$ verändern durch die Lorentzkraft

$$\vec{F}_{\text{Lorentz}}(x,\vec{v}) = q \bigl ( \vec{E}(x) + \frac{\vec{v}}{c}\times \vec{B}(x)\bigr )$$ (5.1)

den Impuls $\vec{p}=m\vec{v}/\sqrt{1-\vec{v}^{\,2}/c^2}$ (4.96) und damit die Geschwindigkeit $\vec{v}$ eines Probeteilchens mit Ladung $q$, das zur Zeit $t$ den Ort $\vec{x}=(x^1,x^2,x^3)$ durchläuft,

$$\frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}_{\text{Lorentz}}\ .$$ (5.2)

In (5.1) faßt der Vierervektor $x=(x^0,x^1,x^2,x^3)$ mit $x^0=ct$ die Orts- und Zeitkoordinaten zusammen. Das Magnetfeld $\vec{B}$ hat dieselbe Dimension wie das elektrische Feld $\vec{E}$.

Die elektromagnetischen Felder hängen mit der Ladungsdichte $\rho$ und der Stromdichte  $\vec{\jmath}$ durch die Maxwellgleichungen zusammen,

$$\divper \vec{B} = 0\ , \qquad \rot \vec{E} + \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} \vec{B} = 0\ ,$$ (5.3)

$$\divper \vec{E} = 4\pi \rho\ , \qquad \rot \vec{B} - \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} \vec{E} = \frac{4 \pi}{c} \vec{\jmath}\ .$$ (5.4)

Schreibt man für die partiellen Ableitungen nach den Raumzeitkoordinaten

$$\partial_{0}=\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}=\frac{\parti... ...c{\partial}{\partial x^2}\, ,\quad \partial_3=\frac{\partial}{\partial x^3}\, ,$$ (5.5)

so lauten die homogenen Maxwellgleichungen (5.3)

$$\begin{aligned}\partial_{1}B^1 + \partial_{2}B^2 + \partial_{3}... ..._{1}E^2 - \partial_{2}E^1 + \partial_{0}B^3 &= 0\ . \end{aligned}$$

Wir deuten die Feldstärken als die sechs Komponenten eines antisymmetrischen Tensors, des Feldstärketensors ^5.1

$$F_{mn}=-F_{nm}\ ,\quad m,n\in \{0,1,2,3\}\ ,\quad F_{0i}=E^i\, ,\ F_{ij}=-\varepsilon^{ijk}B^k\, ,$$ (5.7)

dessen Komponenten wir der Übersichtlichkeit wegen in einer Matrix angeben

$$\begin{pmatrix}F_{00}&F_{01}&F_{02}&F_{03}\\ F_{10}&F_{11}&F_{12}... ...}B^3&\phantom{-}0&-B^1\\ -E^3&-B^2&\phantom{-}B^1&\phantom{-}0 \end{pmatrix}\ .$$ (5.8)

Dann haben die homogenen Maxwellgleichungen die Form

$$\begin{aligned}\partial_1 F_{23} + \partial_2 F_{31} +\partial_... ... F_{12} + \partial_1 F_{20} +\partial_2 F_{01} &= 0 \end{aligned}$$

und können in Indexschreibweise kurz als

$$\partial_l F_{mn} + \partial_m F_{nl} + \partial_n F_{lm} = 0$$ (5.10)

geschrieben werden. Die linke Seite dieser Gleichungen ändert wegen $F_{mn}=-F_{nm}$ unter jeder Paarvertauschung von Indizes ihr Vorzeichen, sie ist also total antisymmetrisch unter Permutationen der Indizes. Die Gleichungen (5.10) bestehen nicht aus $4\cdot 4\cdot 4$ unabhängigen Komponentengleichungen, wie man bei drei Indizes $l$, $m$ und $n$ und einem Laufbereich über vier Werte vermuten könnte, sondern $l$, $m$ und $n$ müssen in einer nichttrivialen Gleichung paarweise verschieden sein und ihre Permutation führt nicht auf eine neue Gleichung. Daher enthält (5.10) $4\cdot 3 \cdot 2\, /\, 3 !=4$ unabhängige Gleichungen.

Die inhomogenen Maxwellgleichungen (5.4) lauten ausgeschrieben

$$\begin{aligned}\partial_1 E^1 +\partial_2 E^2 +\partial_3 E^3 &... ...rtial_1 B^2 -\partial_2 B^1 &= \frac{4\pi}{c} \,j^3 \end{aligned}$$

oder, wenn wir die elektrischen und magnetischen Felder als Komponenten des Feldstärketensors schreiben und zur Betonung der Struktur verschwindende Terme wie $\partial_0 F_{00}$ einfügen

$$\begin{aligned}\partial_0 F_{00} -\partial_1 F_{10} -\partial_2... ..._{23} +\partial_3 F_{33} &= \frac{4\pi}{c} \,j^3\ . \end{aligned}$$

Das Minuszeichen bei den Komponenten $F_{01}$, $F_{02}$ und $F_{03}$ gehört zur Definition der Komponenten des Feldstärketensors mit oberen Indizes^5.2

$$F^{mn} =\eta^{mk}\eta^{nl}F_{kl}\ ,$$ (5.13)

$$\begin{pmatrix}F^{00}&F^{01}&F^{02}&F^{03}\\ F^{10}&F^{11}&F^{12}&F^{13}\\ F^{20}&F^{21}&F^{22}&F^{23}\\ F^{30}&F^{31}&F^{32}&F^{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0& -E^1&-E^2&-E^3\\ E^1&\phantom{-}0&-B^3&\phant... ...-}B^3&\phantom{-}0&-B^1\\ E^3&-B^2&\phantom{-}B^1&\phantom{-}0 \end{pmatrix}\ .$$ (5.14)

Dann haben die inhomogenen Maxwellgleichungen die Form

$$\begin{aligned}\partial_0 F^{00} +\partial_1 F^{10} +\partial_2... ...^{23} +\partial_3 F^{33} &= \frac{4\pi}{c} \,j^3\ . \end{aligned}$$

Lesen wir $j^0=c\rho$ als Komponente der Viererstromdichte $j=(j^0,j^1,j^2,j^3)$, so lauten die inhomogenen Maxwellgleichungen in Indexschreibweise

$$\partial_m F^{mn}= \frac{4\pi}{c}\, j^n\ .$$ (5.16)