Lokale Ladungserhaltung

Weil $F^{mn}=-F^{nm}$ antisymmetrisch unter Vertauschung der Indizes ist und weil zweifache partielle Ableitung, wenn sie stetig ist, nicht von der Reihenfolge der Ableitungen abhängt, $\partial_n\partial_m=\partial_m\partial_n$, verschwindet die Doppelsumme $\partial_n \partial_m F^{mn}$.

Denn es gilt allgemein, daß eine Doppelsumme über ein symmetrisches und ein antisymmetrisches Indexpaar verschwindet

$$T_{rs}{}^{mn}= - T_{rs}{}^{nm}= T_{sr}{}^{mn} \ \Rightarrow\ T_{kl}{}^{kl}= 0\ .$$ (5.17)

Der Sachverhalt gilt, egal ob $T_{rs}{}^{mn}= S_{rs}A^{mn}$ aus Produkten zusammengesetzt ist oder ob die Indizes Differentationen benennen $T_{rs}{}^{mn}=\partial_r\partial_sF^{mn}$ oder ob die Koeffizienten $T_{rsa_3\dots a_u}{}^{mnb_3\dots b_o}$ weitere Indizes haben. Die Doppelsumme verschwindet, weil sie nach Permutieren und Umbenennen der Summationsindizes ihrem Negativen gleich ist,

$$T_{kl}{}^{kl}=T_{lk}{}^{kl} =-T_{lk}{}^{lk}= -T_{lm}{}^{lm}=-T_{km}{}^{km}= -T_{kl}{}^{kl}\ .$$ (5.18)

Eine einfache Folge dieser Überlegungen ist, daß die Doppelsumme $T_{mn}S^{mn}$ über ein symmetrischen Indexpaar $S^{mn}=S^{nm}$ in den Summationsindizes symmetrisiert,

$$T_{mn}S^{mn} = \frac{1}{2}(T_{mn}+T_{nm})S^{mn}\ ,$$ (5.19)

denn $T_{mn}=(T_{mn}+T_{nm})/2+(T_{mn}-T_{nm})/2$ kann als Summe eines symmetrischen und eines antisymmetrischen Teils $(T_{mn}-T_{nm})/2=-(T_{nm}-T_{mn})/2$ geschrieben werden.

Beispielsweise ist $\frac{dx^m}{d\lambda}\frac{dx^n}{d\lambda}=\frac{dx^n}{d\lambda}\frac{dx^m}{d\lambda}$ symmetrisch unter Vertauschung von $m$ und $n$. Zum Längenquadrat eines Tangentialvektors $\frac{dx^m}{d\lambda}\frac{dx^n}{d\lambda}g_{mn}$ trägt daher nur der symmetrische Teil von $g_{mn}$ bei, weshalb man ohne Einschränkung $g_{mn}=g_{nm}$ voraussetzen kann.

Wenden wir $\partial_n$ auf (5.16) an, so erhalten wir $\partial_n \partial_m F^{mn}=\frac{4\pi}{c}\partial_n j^n$. Die linke Seite ist eine Doppelsumme über ein symmetrisches und ein antisymmetrisches Indexpaar und verschwindet wegen (5.17). Sie ist der Viererdivergenz $\partial_n j^n = \partial_0 j^0 +\partial_1 j^1 +\partial_2 j^2 +\partial_3 j^3$ des Viererstroms gleich

$$\partial_n j^n = 0\ .$$ (5.20)

In Ladungs- und Stromdichte ausgedrückt ist dies die Kontinuitätsgleichung

$$\dot{\rho}+\divper \vec{\jmath} = 0\ .$$ (5.21)

Die Kontinuitätsgleichung schränkt denkbare Quellen $\rho$ und $\vec{\jmath}$ für elektromagnetische Felder ein. Es können in den Maxwellgleichungen nur solche Ladungs- und Stromdichten auftreten, die der Kontinuitätsgleichung und damit lokaler Ladungserhaltung genügen.

Lokale Ladungserhaltung besagt mehr, als daß die Gesamtladung erhalten ist. Mit Erhaltung der Gesamtladung wäre auch der nie beobachtete Vorgang verträglich, daß Ladung im Labor verschwindet und gleichzeitig am anderen Ende der Welt wieder erscheint. Lokale Ladungserhaltung besagt, daß sich die Ladung in jedem Volumen $V$, das man zeitlich unverändert abgegrenzt hat, nur dadurch im Laufe der Zeit ändert, daß durch die Oberfläche $\partial V$ (lies ,,Rand von $V$``) Ströme fließen, deren Bilanz nicht ausgeglichen ist. Dies folgert man aus der Kontinuitätsgleichung durch Integration über das Volumen $V$ mit dem Gaußschen Integralsatz

$$Q_V(t) = \int_V\! d^3 x\, \rho (t,\vec{x})\ ,$$ (5.22)

$$\frac{d}{dt} Q_V(t) = \int_V\! d^3 x\, \dot{\rho}= -\int_V\! d^3 x\,\divper \vec{\jmath} =- \oint_{\partial V}\!\! d\vec{f}\, \vec{\jmath}\ .$$ (5.23)

Insbesondere kann zu keiner Zeit eine einzelne Punktladung aus dem Vakuum entstehen.