Energie und Impuls

Zu elektromagnetischen Feldstärken gehören Energiedichte, Energieströme, Impulsdichten und Impulsströme, die sich zu Komponenten $T^{kl}$ des Energie-Impulstensors zusammenfassen lassen^5.3

$$T^{kl}= -\frac{1}{4\pi c}\bigl ( F^k{}_nF^{ln}- \frac{1}{4} \eta^{kl}F_{mn}F^{mn}\bigr )\ .$$ (5.24)

Der Energie-Impulstensor ist symmetrisch und spurfrei

$$T^{kl}=T^{lk}\, ,\quad \eta_{kl}T^{kl}=0\ .$$ (5.25)

Für jeden Wert des Index $k$ sind $T^{kl}$ vier Komponenten eines Viererstromes, der in Abwesenheit von elektrischen Ladungs- und Stromdichten erhalten bleibt

$$\partial_l T^{kl}=-\frac{1}{c^2}F^{k}{}_nj^n\ .$$ (5.26)

Zur Bestätigung berechnen wir $-4\pi c\, \partial_l T_k{}^l$

$$\begin{aligned}&\partial_l\bigl( F_{kn}F^{ln}-\frac{1}{4}\delta... ...+F_{kn}\partial_lF^{ln} =\frac{4\pi}{c}F_{kn}j^n\ . \end{aligned}$$

Dabei haben wir $\eta_{kn}\eta^{nl}=\delta_k^l$ (A.72) verwendet und ausgenutzt, daß die Doppelsumme mit $F^{ln}=-F^{nl}$ in den Indizes $l$ und $n$ antisymmetrisiert, daß also

$$2 F^{ln}\partial_l F_{kn}=F^{ln}\bigl (\partial_l F_{kn}-\partial... ...artial_n F_{kl}\bigr ) =F^{ln}\bigl (\partial_l F_{kn}-\partial_n F_{kl}\bigr )$$

gilt, weil die Doppelsumme über ein symmetrisches und ein antisymmetrisches Indexpaar verschwindet (5.17). Zudem haben wir die homogenen (5.10) und inhomogenen (5.16) Maxwellgleichungen eingesetzt.

Wenn die Ladungs- und Stromdichte verschwindet, dann besteht der Energie-Impulstensor aus Komponenten von vier erhaltenen Strömen (5.26). Die Nullkomponenten $T^{k0}$ sind Dichten, deren räumliches Integral

$$P^k = \int\! d^3x\, T^{k0}(x)$$ (5.28)

zeitunabhängig ist (5.22), wenn das Integrationsvolumen so groß gewählt ist, daß die Ströme $T^{ki},\ i\in\{1,2,3\},$ durch den Rand verschwinden. Die Erhaltungsgrößen gehören, wie wir bei (5.149) sehen werden, zur Invarianz der Wirkung unter Translationen der Zeit und des Ortes und sind daher die Komponenten des Viererimpulses $P=(E/c,P^1,P^2,P^3)$. Also sind die Komponenten $T^{k0}(x)$ die durch $c$ geteilte Energiedichte für $k=0$ und die Impulsdichten für $k=1,2,3$. Wir schreiben sie mit (5.8, 5.13) als quadratischen Ausdruck im elektrischen und magnetischen Feld^5.4

$$T^{00} =\frac{1}{8\pi c}\bigl ( \vec{E}^2 + \vec{B}^2 \bigr )\ ,\quad E =\frac{1}{8\pi}\int\!d^3x\, \bigl ( \vec{E}^2 + \vec{B}^2 \bigr )\ ,$$ (5.29)

$$T^{i0} =\frac{1}{4\pi c }\varepsilon^{ijk} E^j B^k\ ,\quad P^i =\frac{1}{4\pi c}\int\!d^3x\, \varepsilon^{ijk} E^j B^k\ .$$ (5.30)

Das elektromagnetische Feld hat die Energiedichte $u =\frac{1}{8\pi}\bigl ( \vec{E}^2 + \vec{B}^2 \bigr )$. Der Poyntingvektor

$$\vec{S}=\frac{c}{4\pi }\vec{E}\times\vec{B}$$ (5.31)

ist die Energiestromdichte des elektromagnetischen Feldes. Wegen $T^{0i}= T^{i0}$ (5.25) ist die Impulsdichte der durch $c^2$ geteilten Energiestromdichte gleich.

Die Energiedichte ist nirgends kleiner als der Betrag der Energiestromdichte durch $c$,

$$u=\frac{1}{8\pi}\bigl ( \vec{E}^2 + \vec{B}^2 \bigr )\ge \frac{1}{4\pi }\vert\vec{E}\times\vec{B}\vert\ ,$$ (5.32)

denn wegen $(\vert\vec{E}\vert-\vert\vec{B}\vert)^2\ge 0$ gilt $(\vert\vec{E}\vert^2+\vert\vec{B}\vert^2)\ge 2 \vert\vec{E}\vert\,\vert\vec{B}\vert$, zudem ist $\vert\vec{E}\vert\,\vert\vec{B}\vert\ge \vert\vec{E}\times \vec{B}\vert$. Also ist die Geschwindigkeit des Energietransports $\vec{v}= \vec{S}/ u$ (3.50) nirgends größer als $c$.

In Anwesenheit von elektrischer Ladungs- und Stromdichte sind Energie und Impuls des elektromagnetischen Feldes wegen (5.26) nicht erhalten,

$$\partial_t \frac{1}{8\pi}\bigl ( \vec{E}^2 + \vec{B}^2 \bigr )+\, \divper \vec{S} = - \vec{E}\cdot\vec{\jmath}\ ,$$ (5.33)

$$\partial_t \frac{S^i}{c^2} + \partial_j T^{ij} = -E^i \rho - \frac{1}{c}\varepsilon^{ijk}B^k j^j\ ,$$ (5.34)

$$\quad T^{ij}=-\frac{1}{4\pi}\bigl ( E^iE^j+B^iB^j-\frac{1}{2}\delta^{ij}\bigl ( \vec{E}^2 +\vec{B}^2\bigr ) \bigr )\ ,$$ (5.35)

sondern können mit geladenen Teilchen ausgetauscht werden. Wenn der Gesamtimpuls von Teilchen und elektromagnetischem Feld erhalten ist, muß $\rho \vec{E} + \frac{1}{c}\vec{\jmath}\times\vec{B}$ die zeitliche Zunahme der Impulsdichte der Ladungsträger sein, und $\vec{\jmath}\cdot \vec{E}\$ ist die Zunahme ihrer Energiedichte.

Für den Impuls $\vec{p}$ und die Energie $E_{\text{Teilchen}}$ eines Punktteilchen mit Ladung $q$, das die Kurve $\vec{x}(t)$ durchläuft und die Ladungsdichte $\rho(t,\vec{z})=q\,\delta^3(\vec{z}-\vec{x}(t))$ und die Stromdichte $\vec{\jmath}\,(t,\vec{z})=q\,\dot{\vec{x}}\,\delta^3(\vec{z}-\vec{x}(t))$ hat (5.163), gilt also

$$\frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}_{\text{Lorentz}}=\,q\,\bigl ( \vec{E}... ..., ,\quad \frac{dE_{\text{Teilchen}}}{dt}= q\,\frac{d\vec{x}}{dt}\cdot\vec{E}\ .$$ (5.36)

Aus Energie- und Impulserhaltung und den Maxwellgleichungen folgen also die Lorentzkraft (5.1) und die relativistische Bewegungsgleichung geladener Punktteilchen (5.2). Die Energie des Teilchens ändert sich durch die Arbeit, die das elektrische Feld an ihm verrichtet, das Magnetfeld ändert die Teilchenenergie nicht.