Die elektrodynamischen Potentiale

Das elektrische Feld einer kugelsymmetrischen, statischen Ladungsverteilung folgt aus dem Gaußschen Integralsatz und dem naheliegenden Ansatz, daß das $\vec{E}$-Feld zeitunabhängig und radial gerichtet ist ^5.5

$$\vec{E}(\vec{x})=\frac{\vec{x}}{\vert\vec{x}\vert}E(\vert\vec{x}\vert)\ .$$ (5.37)

Den Betrag des $\vec{E}$-Feldes bestimmt man, indem man $\divper \vec{E}=4\pi\rho$ (5.4) über eine Kugel $K_r$ mit Radius $r$ integriert. Auf der rechten Seite ergibt sich $4\pi$ mal der Ladung $Q(r)$, die in der Kugel eingeschlossen ist, die linke Seite formt man mit dem Gaußschen Integralsatz in ein Integral über die Kugeloberfläche $\partial {K}_r$ um

$$4\pi Q(r) = \int_{{K}_r}\! d^3 x\ \divper \,\vec{E}(x)= \oint_{\partial {K}_r}\! d \vec{f}\cdot \vec{E}(x)\ .$$ (5.38)

Auf der Kugeloberfläche ist die nach außen gerichtete Flächennormale $d\vec{f}$ parallel zur Richtung des $\vec{E}$-Feldes, das Skalarprodukt $d\vec{f}\cdot\vec{E}$ ist also gleich dem Produkt der Beträge. Der Betrag des elektrischen Feldes ist auf der Kugeloberfläche konstant und kann vor das Integral gezogen werden, das die Größe $4\pi r^2$ der Kugeloberfläche ergibt. Wir erhalten $4\pi Q(r) = 4\pi r^2 E(r)$

$$E(r)=\frac{Q(r)}{r^2}\ .$$ (5.39)

Bei einer kugelsymmetrischen Ladungsverteilung wirken sich auf eine Probeladung am Ort $\vec{x}$ nur die Ladungen aus, die innerhalb der Kugel mit Radius $\vert\vec{x}\vert$ sind. Die Kraft $\vec{F}=q \vec{E}$ ist abstoßend, wenn die Ladungen $q$ und $Q(r)$ gleiches Vorzeichen haben.

Innerhalb einer homogen geladenen Kugel mit Radius $R$ verhält sich $Q(r)$ zur Gesamtladung $Q$ wie das Volumen $\frac{4}{3}\pi r^3$ zum Gesamtvolumen $\frac{4}{3}\pi R^3$, $Q(r)=\frac{r^3}{R^3}Q$. Demnach gilt für eine homogen geladene Kugel

$$E(r) = \begin{cases}\frac{Q}{R^3}\,r\ , & \text{falls $r<R$} \\ Q\,\frac{1}{r^2}\ , & \text{falls $r\ge R$}\ . \end{cases}$$ (5.40)

Im Inneren einer homogen geladenen Kugel wirkt auf ein entgegengesetzt geladenes Probeteilchen dieselbe mit dem Abstand linear anwachsende, anziehende Kraft wie auf einen kugelsymmetrischen harmonischen Oszillator. Ihre Bahnen sind Ellipsen, deren Mittelpunkt anders als bei Keplerellipsen im Ursprung liegt.

Das elektrostatische Feld läßt sich als Gradient eines Potentials $\phi(\vec{x})$ schreiben und erfüllt daher auch die restlichen Maxwell-Gleichungen mit $\vec{B}=0$ und $\vec{\jmath}=0$

$$\vec{E}= -\grad \phi\, ,\quad \phi(\vec{x}) = \begin{cases}-\frac... ...}{\vert\vec{x}\vert} \ , & \text{falls $\vert\vec{x}\vert\ge R$}\ . \end{cases}$$ (5.41)

Demnach ist das Potential außerhalb eines Punktteilchens mit Ladung $q$, das im Ursprung ruht, das Coulomb-Potential $\phi(\vec{x})=\frac{q}{\vert\vec{x}\vert}$. Befindet sich das Teilchen bei $\vec{y}$, so gehört dazu das verschobene Potential $\phi(\vec{x})=\frac{q}{\vert\vec{x}-\vec{y}\vert}$, denn die Maxwellgleichungen sind, wie man leicht überprüft, verschiebungsinvariant. Das Potential mehrerer Punktladungen erhält man als Summe der Potentiale der einzelnen Ladungen, denn die Maxwellgleichungen sind linear inhomogen

$$\phi(\vec{x})=\sum_i\frac{q_i}{\vert\vec{x}-\vec{y}_i\vert}\ .$$ (5.42)

Für eine kontinuierliche Ladungsverteilung $\rho(\vec{y})$ geht dies in die kontinuierliche Summe über, nämlich in das Integral

$$\phi(\vec{x})=\int\!d^3y\, \frac{\rho(\vec{y})}{\vert\vec{x}-\vec{y}\vert}\ .$$ (5.43)

Dieses Potential erfüllt, wie wir gleich zeigen, die Gleichung $-\divper \,\grad \phi = 4\pi \rho$, also die Poisson-Gleichung

$$\Delta \phi = - 4 \pi \rho\ .$$ (5.44)

Hierbei ist $\Delta$ der Laplace-Operator

$$\Delta =\divper \, \grad = \partial_1{}^2+\partial_2{}^2+\partial_3{}^2\ .$$ (5.45)

Die homogene Poisson-Gleichung $\Delta u = 0$ heißt Laplace-Gleichung, ihre Lösungen $u$ heißen harmonische Funktionen. In ladungsfreien Gebieten ist das elektrostatische Potential eine harmonische Funktion.

Komplexe Funktionen $f(z)=u(x,y)+\mathrm{i}v(x,y)$ hängen komplex differenzierbar von $z=x+\mathrm{i}y$ ab, wenn sich ihre Änderung

$$df= dx\partial_x u + dy \partial_y u + \mathrm{i}(dx \partial_x v... ...rtial_x u + \mathrm{i}\partial_x v)+ dy (\partial_y u + \mathrm{i}\partial_y v)$$ (5.46)

linear in $dz=dx + \mathrm{i}dy$ als $df = dz \frac{df}{dz}$ schreiben läßt. Wegen

$$df =(dx + \mathrm{i}dy)(\partial_x u + \mathrm{i}\partial_y v) - ... ...gl((\partial_x u -\partial_y v) + \mathrm{i}(\partial_y u + \partial_x v)\bigr)$$ (5.47)

erfordert komplexe Differenzierbarkeit die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

$$\partial_x u = \partial_y v\ ,\quad \partial_x v = - \partial_y u\ .$$ (5.48)

Folglich sind $u$ wegen $\partial_x\partial_xu = \partial_x\partial_y v =\partial_y\partial_x v = - \partial_y\partial_y u$ und ebenso $v$ harmonische Funktionen der zwei Variablen $x$ und $y$. Umgekehrt gehört zu jeder reellen, harmonischen Funktion $u(x,y)$ eine komplex differenzierbare Funktion $f(z)$, die bis auf eine Konstante bestimmt ist. Darauf beruht die Bedeutung von Funktionentheorie für Potentialprobleme in zwei Raumdimensionen.