Viererpotential und Eichtransformation

Die homogenen Maxwellgleichungen (5.10) besagen, daß die Feldstärken $F_{kl}(x)$ die antisymmetrisierten Ableitungen von vier Potentialfunktionen $A_l(x)$ sind

$$F_{kl}(x)= \partial_k A_l(x) - \partial_l A_k(x)\ .$$ (5.57)

Feldstärken von dieser Form lösen die homogenen Maxwellgleichungen, denn (5.10) ist total antisymmetrisch unter Permutationen und die Reihenfolge von partiellen Ableitungen kann vertauscht werden, $\partial_k \partial_l A_m - \partial_l \partial_k A_m = 0\,$.

Umgekehrt überprüft man durch Differenzieren, daß in sternförmigen Gebieten, die mit jedem Punkt $x$ auch die Verbindungsstrecke zum Ursprung enthalten, die antisymmetrisierten Ableitungen des folgenden Viererpotentials (A.63) die Feldstärken ergeben.

$$\begin{aligned}A_l(x)&=\int_0^1 d\lambda\, \lambda x^m F_{ml}(\... ...}-\partial_l F_{mk})_{\vert _{(\lambda x)}}\right ) \end{aligned}$$

Verwenden wir im letzten Term $F_{ml}=-F_{lm}$ und die homogene Maxwellgleichung (5.10) $-\partial_k F_{lm}-\partial_l F_{mk}=\partial_m F_{kl}$, so folgt die Behauptung

$$\begin{aligned}\partial_k A_l -\partial_l A_k &=\int_0^1 d\lamb... ... \bigr \vert^{\lambda=1}_{\lambda=0} = F_{kl}(x)\ . \end{aligned}$$

Die Komponente $A_0$ heißt skalares Potential $\phi$. Die räumlichen Komponenten faßt man zum Vektorpotential $\vec{A}=(-A_1, -A_2, -A_3)$ zusammen. Mit diesen Bezeichnungen besagt (5.57) für das magnetische und das elektrische Feld

$$\vec{B}= \rot \vec{A}\ , \quad \vec{E}= -\grad \phi - \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\vec{A}\ .$$ (5.60)

Wegen $\partial_k\partial_l \chi = \partial_l\partial_k \chi$ folgt aus (5.57), daß sich die Feldstärken nicht ändern, wenn man zum Viererpotential $A_l$ die Ableitung einer Funktion $\chi$ hinzufügt

$$A^\prime_l = A_l + \partial_l \chi\ .$$ (5.61)

Diese Abänderung des Viererpotentials heißt Eichtransformation. Das skalare Potential $\phi$ und das Vektorpotential $\vec{A}$ ändern sich unter einer Eichtransformation um

$$\phi^\prime= \phi + \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\chi\ ,\quad \vec{A}^{\,\prime} = \vec{A} - \grad \chi\ .$$ (5.62)

Durch Eichtransformationen zusammenhängende Viererpotentiale können durch keinen physikalischen Effekt voneinander unterschieden werden.

Relativistische Quantenfeldtheorie liefert einen tiefliegenden Grund für Eichinvarianz, der über den ästhetischen Reiz einer Symmetrie weit hinaus geht [37]. Ein quantisiertes Viererpotential $A_m$ erzeugt Zustände mit negativer Norm. Sie machen sich nur dann nicht als negative und daher widersinnige Wahrscheinlichkeiten in physikalischen Prozessen bemerkbar, wenn die physikalischen Vorgänge eichinvariant sind.