Wellen und Quellen

Setzt man die Lösung $F_{kl}=\partial_k A_l - \partial_l A_k$ (5.57) der homogenen Maxwellgleichungen in die inhomogenen Maxwellgleichungen (5.16) ein und verwendet man zur Abkürzung die Schreibweise

$$\partial^m = \eta^{mk}\partial_k\ ,\quad (\partial^0,\partial^1,\partial^2,\partial^3) =(\partial_0,-\partial_1,-\partial_2,-\partial_3)\ ,$$ (5.63)

$$A^n =\eta^{nl}A_l\ ,\quad (A^0,A^1,A^2,A^3) =(\phi,\vec{A})=(A_0,-A_1,-A_2,-A_3)\ ,$$ (5.64)

so erhält man

$$\partial_m\partial^m A^n - \partial_m \partial^n A^m = \frac{4\pi}{c}\, j^n\ .$$ (5.65)

Im zweiten Term können die Ableitungen vertauscht werden $\partial_m \partial^n A^m=\partial^n \partial_m A^m$, und durch Wahl der Eichung kann man erreichen,^5.6daß dieser Term verschwindet

$$\partial_m A^m = 0\ .$$ (5.66)

Erfüllt nämlich ein Viererpotential $A^{\prime\, m}$ noch nicht diese Lorenzbedingung, sondern gilt $\partial_m A^{\prime\, m} = f(x)$, so gilt wegen (5.61) die Lorenzeichung (5.66) für das Viererpotential $A^n$, falls die Funktion $\chi$ als Lösung der inhomogenen Wellengleichung

$$\partial_m \partial^m \chi (x) = f(x)$$ (5.67)

gewählt wird. Der Differentialoperator $\partial_m\partial^m$ heißt Wellenoperator oder d'Alembert-Operator. Er wird kurz mit dem Symbol $\Box$ geschrieben und ,,Box`` genannt

$$\Box = \partial_m\partial^m=\eta^{ml}\partial_m\partial_l = \partial_0^2 -\partial_1^2 -\partial_2^2 -\partial_3^2\ .$$ (5.68)