Retardiertes Potential

Wie jede Lösung einer linear inhomogenen Gleichung läßt sich die Lösung der inhomogenen Wellengleichung (5.67) als Summe einer partikulären Lösung der inhomogenen Gleichung, dem retardierten Potential $\chi_{\text{ret}}$, und einer Lösung der homogenen Gleichung, einem Wellenpaket $\chi_{\text{hom}}$, schreiben

$$\chi = \chi_{\text{ret}} + \chi_{\text{hom}}\ .$$ (5.69)

Das zur Inhomogenität $f$ gehörige retardierte Potential ist

$$\chi_{\text{ret}}(x)=\frac{1}{4\pi} \int \! d^3 y\, \frac{f(x^0-\vert\vec{x}-\vec{y}\vert,\vec{y})}{\vert\vec{x}-\vec{y}\vert}\ .$$ (5.70)

Daß es die inhomogene Wellengleichung löst, rechnen wir einfach nach, indem wir den Integranden nach der Kettenregel differenzieren und (5.53) verwenden^5.7

$$\begin{aligned}&(\partial_0\partial_0-\partial_i\partial_i ) \f... ...ec{y}\vert} = 4\pi f\, \delta^3(\vec{x}-\vec{y})\ . \end{aligned}$$

Es erfüllt daher das retardierte Potential die inhomogene Wellengleichung $\Box\chi_{\text{ret}}=f\,$.

Streng genommen müßten wir wie beim Beweis von (5.52) aus dem Integrationsgebiet eine Kugel $K_{\varepsilon}$ herausschneiden und den Grenzfall $\varepsilon\rightarrow 0$ betrachten. Aber bis auf die zweiten Ableitungen von ${1}/{\vert\vec{x}-\vec{y}\vert}$ sind alle anderen Terme weniger divergent als $1/\varepsilon^3$ und tragen im Grenzfall $\varepsilon\rightarrow 0$ nicht bei.

Da $\chi_{\text{ret}}$ die Gleichung (5.67) löst, kann man das Viererpotential jeweils so umeichen, daß es der Lorenzbedingung (5.66) genügt. Dann erfüllt wegen (5.65) jede Komponente des Viererpotentials eine inhomogene Wellengleichung

$$\Box A^m = \frac{4\pi}{c}\, j^m$$ (5.72)

und läßt sich als Summe von retardiertem Potential und einem Wellenpaket schreiben

$$A^m=A^m_{\text{ret}}+A^m_{\text{hom}}\ ,$$ (5.73)

$$A^m_{\text{ret}}(x^0,\vec{x}) = \frac{1}{c} \int \! d^3 y\, \frac{j^m(x^0-\vert\vec{x}-\vec{y}\vert,\vec{y})}{\vert\vec{x}-\vec{y}\vert}\ .$$ (5.74)

Zum retardierten Viererpotential $A^m_{\text{ret}}$ zur Zeit $x^0=ct$ am Ort $\vec{x}$ tragen die Ladungs- und Stromdichten von allen Orten $\vec{y}$ bei, gewichtet mit ihrem Coulombpotential $1/\vert\vec{x}-\vec{y}\vert$ und mit den Werten, die sie zu der um die Lichtlaufzeit früheren Zeit $y^{0}= x^0 -\vert\vec{x}-\vec{y}\vert$ (1.1) hatten. Eine Abänderung der Ladungs- oder Stromdichte wirkt sich im Vakuum mit Lichtgeschwindigkeit aus.

Das retardierte Potential (5.70) ist ein lorentzkovariantes Funktional der Quelle, das heißt, wenn $\Lambda$ eine zeitrichtungstreue Lorentztransformation ist, so gehört zur Inhomogenität $\hat{f}(x)=f(\Lambda^{-1} x)$ das retardierte Potential $\hat{\chi}_{\text{ret}}(x)=\chi_{\text{ret}}(\Lambda^{-1} x)$.

Um dies einzusehen, schreiben wir $\chi_{\text{ret}}$ als vierdimensionales Integral

$$\chi_{\text{ret}}(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{{\mathbb{R}}^4}\! d^4y\, \delta((x-y)^2)\,\Theta(x^0-y^0)\,f(y)\ .$$ (5.75)

Dabei beschränkt die Stufenfunktion

$$\Theta(x) = \left \{ \begin{array}{l l l} 0\ , &\text{falls} & x<0\\ 1\ , &\text{falls} & x>0 \end{array} \right .$$ (5.76)

die Integration auf $y^0 < x^0$. Für $\delta$-Funktionen gilt die Kettenregel

$$x^2 x^0$$

$$\delta (h(x)) = \sum_{x_i: h(x_i)= 0}\frac{1}{\vert\frac{dh}{dx}\... ...t{\vec{x}^2})=\frac{1}{2\vert\vec{x}\vert}\, \delta(x^0 - \vert\vec{x}\vert)\ .$$ (5.77)

Setzt man dies um $y$ verschobenen in (5.75) ein, und integriert über $y^0$, so bleibt das dreidimensionale Integral (5.70) über, es sind also beide Integrale gleich.

Für das lorentztransformierte retardierte Potential erhalten wir

$$\hat{\chi}_{\text{ret}}(x)=\chi_{\text{ret}}(\Lambda^{-1} x)= \fr... ...! d^4y\, \delta((\Lambda^{-1} x-y)^2)\, \Theta(\Lambda^{-1} x^0-y^{0})\,f(y)\ .$$ (5.78)

Fassen wir hier $y=\Lambda^{-1} y^\prime$ als Funktion von Integrationsvariablen $y^\prime$ auf, so gilt $d^4y=\vert\det\Lambda^{-1}\vert \,d^4y^\prime=d^4y^\prime$, denn die Determinante von Lorentztransformationen hat den Betrag $1$ (D.22). Zudem ist $(\Lambda^{-1} (x-y^\prime))^2=(x-y^\prime)^2$, da Lorentztransformationen Längenquadrate ungeändert lassen, und für zeitrichtungstreue Lorentztransformationen ist auf dem Lichtkegel die Zeitkomponente von $\Lambda^{-1}(x-y^\prime)$ genau dann positiv, wenn die Zeitkomponente von $(x-y^\prime)$ positiv ist, $\Theta(\Lambda^{-1} x^0-y^0)=\Theta(x^0-y^{\prime\,0})$. Mit $f(y)=f(\Lambda^{-1} y^\prime)=\hat{f}(y^\prime)$ folgt daher

$$\hat{\chi}_{\text{ret}}(x)= \frac{1}{2\pi} \int_{{\mathbb{R}}^4}\... ...me\, \delta( (x-y^\prime)^2)\, \Theta( x^0-y^{\prime\,0})\,\hat{f}(y^\prime)\ .$$ (5.79)

Schließlich können wir die Integrationsvariable $y^\prime$, ohne etwas zu ändern, mit $y$ bezeichnen. Also ist das retardierte Potential ein lorentzkovariantes Funktional der Quelle.

Verwenden wir dies für jede Komponente des retardierten Viererpotentials (5.74)

$$A^m_{\text{ret}}(x) = \frac{2}{c} \int_{{\mathbb{R}}^4}\! d^4y\, \delta((x-y)^2)\,\Theta(x^0-y^0)\, j^m(y)\ ,$$ (5.80)

und multiplizieren wir beide Seiten mit $\Lambda^n{}_m$, so sehen wir, daß zum lorentztransformierten Viererstrom $j^{\prime\,n}(x)=\Lambda^n{}_m j^m(\Lambda^{-1}x)$ das lorentztransformierte retardierte Potential $A_{\text{ret}}^{\prime\,n}(x)=\Lambda^n{}_m A^m_{\text{ret}}(\Lambda^{-1}x)$ gehört.

In der Form (5.81) bestätigt man leicht, daß das retardierte Viererpotential der Lorenzbedingung $\partial_m A^m_{\text{ret}}=0$ genügt. Denn die Ableitung nach $x^m$ wirkt im Integranden auf $\delta((x-y)^2)\Theta(x^0-y^0)$. Da dies nur von $x-y$ abhängt, ist

$$\partial_{x^m} \bigl(\delta((x-y)^2)\,\Theta(x^0-y^0)\bigr )=- \partial_{y^m} \bigl(\delta((x-y)^2)\,\Theta(x^0-y^0)\bigr )\ .$$ (5.81)

Zudem genügt der Strom der Kontinuitätsgleichung $\partial_{y^m}j^m(y)=0$, folglich ist $\partial_m A^m_{\text{ret}}$ ein Integral über Ableitungen nach den Integrationsvariablen. Dies ergibt nur Randterme und verschwindet, wenn die Ströme für $r\rightarrow \infty$ verschwinden,

$$\partial_{x^m}A^m_{\text{ret}}(x) = - \frac{2}{c}\int_{{\mathbb{R... ...^4y\, \partial_{y^m} \bigl(\delta((x-y)^2)\,\Theta(x^0-y^0)\,j^m(y)\bigr )=0\ .$$ (5.82)