Wellenpaket

Jede ebene Welle

$$\psi(x^0,\vec{x})= \mathrm{e}^{-{\mathrm{i}}k\cdot x} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\vec{k} \vec{x}-\omega t)}$$ (5.83)

mit lichtartigem Wellenvektor $k=(k^0,\vec{k})$, $k^0 = \omega/c\,$,

$$k^2 = (k^0)^2 - (k^1)^2- (k^2)^2- (k^3)^2 = 0\ ,$$ (5.84)

löst, wie man einfach nachrechnet, die homogene Wellengleichung $\Box \,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k\cdot x} =0$. Die Gleichung $k^2 = 0$ legt die Komponente $k^0$ fest. Wir wählen $k^0$ positiv,

$$k^0 = \frac{\omega}{c} = \vert\vec{k}\vert\ ,$$ (5.85)

ohne dabei Lösungen zu übersehen: die Lösung mit negativem $k^0$ schreiben wir als $\mathrm{e}^{\mathrm{i}k \cdot x}$. Da $\vec{k}$ beliebig ist, bilden ebene Wellen eine dreiparametrige Schar komplexer Lösungen der homogenen Wellengleichung.

Die ebene Welle ist auf Flächen senkrecht zu $\vec{k}$ konstant,

$$\psi(x^0,\vec{x}+\vec{n})=\psi(x^0,\vec{x}) \quad \vec{k}\vec{n}=0\ ,$$ (5.86)

und bewegt sich mit Lichtgeschwindigkeit in Richtung von $\vec{e}_k=\frac{\vec{k}}{\vert\vec{k}\vert}$,

$$\psi (x^0+dx^0, \vec{x}+\vec{e}_k\, dx^0)=\psi(x^0,\vec{x})\ .$$ (5.87)

Insbesondere ist $\psi$ konstant auf dem Lichtstrahl $(t,\vec{x}(t))=(t,t\,\vec{e}_k + \vec{x}_0)$, der zur Zeit $t=0$ den Ort $\vec{x}_0$ in Richtung $\vec{e}_k$ durchläuft.

Die Welle hat die Frequenz $\nu={1}/{T}={\omega}/{(2\pi)}={c\, k^0}/{(2\pi)}$ und die Wellenlänge $\lambda={2\pi}/{\vert\vec{k}\vert}$

$$\psi(x^0+c\,T,\vec{x})=\psi(x^0,\vec{x})\, ,\quad \psi(x^0,\vec{x}+\lambda \vec{e}_k)= \psi(x^0,\vec{x})\ .$$ (5.88)

Mit $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k\cdot x}$ ist auch jedes komplexe Vielfache $a(\vec{k})\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k\cdot x}$ Lösung der homogenen Wellengleichung, gleiches gilt für Summen und Integrale, die sich aus solchen Lösungen zusammensetzen.

Die allgemeinste, reelle Lösung der homogenen Wellengleichung $\Box A^n = 0$ ist ein Wellenpaket

$$A^n_{\text{hom}}(x)=\int\! \frac{d^3 k}{(2\pi)^3 2 k^0}\, \bigl (... ...mathrm{i}k\cdot x} + a^n (\vec{k})\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k\cdot x} \bigl )\ .$$ (5.89)

Dabei ist ${a^n}^\dagger$ das komplex konjugierte der Amplitude $a^{n}$. Die Komponente $k^0$ im Nenner und im Exponenten in $k\cdot x=k^0x^0-k^1x^1-k^2x^2-k^3x^3$ ist die Funktion $k^0=\vert\vec{k}\vert$ der Integrationsvariablen.

Der Normierungsfaktor $1 / (2 k^0)$ ist von den Amplituden $a^n$ abgespalten, damit zu lorentztransformierten Wellenpaketen $A^{\prime\,n}_{\text{hom}}(x)=\Lambda^n{}_mA^{m}_{\text{hom}}(\Lambda^{-1}x)$ ohne weitere Faktoren lorentztransformierte Amplituden $a^{\prime\,n}(k)=\Lambda^n{}_m a^{m}(\Lambda^{-1}k)$ gehören.

Daß dies so ist, sieht man, wenn man mit der Deltafunktion (5.78) das Wellenpaket als vierdimensionales Integral schreibt

$$A^n_{\text{hom}}(x)=\frac{1}{(2\pi)^3}\int_{{\mathbb{R}}^4}\! d^4... ...{e}^{\mathrm{i}k\cdot x} + a^n (k)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k\cdot x} \bigl )\ .$$ (5.90)

Zum diesem Integral tragen nur Amplituden $a^n(k)$ mit $k^0=\vert\vec{k}\vert$ bei.

Das lorentztransformierte Wellenpaket ist

$$A^{\prime\, n}_{\text{hom}}(x) =\Lambda^n{}_m \frac{1}{(2\pi)^3}\... ...ambda^{-1}x} + a^m (k)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k\cdot \Lambda^{-1}x} \bigl )\ .$$ (5.91)

Wenn wir hier $k=\Lambda^{-1}k^\prime$ als Funktion von Integrationsvariablen $k^\prime$ auffassen, so gilt $k\cdot \Lambda^{-1}x=k^\prime \cdot x$ und $\delta(k^2)=\delta(k^{\prime\, 2})$, denn Lorentztransformationen lassen Skalarprodukte invariant, zudem ist $d^4 k=\vert\det \Lambda^{-1}\vert d^4k^\prime= d^4k^\prime$, denn die Determinante von Lorentztransformationen hat den Betrag $1$ (D.22), und bei zeitrichtungstreuen Lorentztransformationen des Lichtkegels ist $\Theta(k^0)=\Theta(k^{\prime\,0})$. Daher gilt

$$A^{\prime\, n}_{\text{hom}}(x) = \frac{1}{(2\pi)^3}\int_{{\mathbb... ...a^m (\Lambda^{-1}k^\prime)\, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}k^\prime\cdot x} \bigl )\ .$$ (5.92)

Da die Bezeichnung der Integrationsvariablen, $k^\prime$ oder $k$, unwesentlich ist, zeigt dies, daß zum lorentztransformierten Wellenpaket die lorentztransformierten Amplituden gehören.

Daß man jede Lösung der homogenen Wellengleichung als Wellenpaket (5.90) schreiben kann, folgt daraus, daß solch eine Lösung durch die Anfangsbedingungen $A^n(0,\vec{x})$ und $\partial_0{A^n}(0,\vec{x})$ festgelegt ist. Wertet man das Wellenpaket (5.90) und seine Zeitableitung zur Zeit $x^0=0$ aus, so erkennt man, daß ${({a^n}^\dagger(\vec{k})+a^n(-\vec{k}))}/{(2k^0)}$ die Fouriertransformierte von $A^n(0,\vec{x})$ und daß $\mathrm{i}{({a^n}^\dagger(\vec{k})-a^n(-\vec{k}))}/{2}$ die Fouriertransformierte von $\partial_0{A^n}(0,\vec{x})$ ist. Durch inverse Fouriertransformation kann man nach ${a^n}^\dagger (\vec{k})$ auflösen

$${a^n}^\dagger(\vec{k})= \int \! d^3 x\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\ve... ...}\, \bigl (k^0 A^n (0,\vec{x}) - \mathrm{i}\partial_0{A^n}(0,\vec{x})\bigr )\ .$$ (5.93)

Mit dem Symbol ,,Ableitung zu beiden Seiten``

$$f\overset{\leftrightarrow}{\partial}_mg= f(\partial_m g)-(\partial_m f)g$$ (5.94)

schreibt sich dies elegant und für alle Zeiten $x^0$ als

$${a^n}^\dagger(\vec{k})=-\mathrm{i}\int\! d^3x \, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}k\cdot x}\, \overset{\leftrightarrow}{\partial}_0A^n(x)\ .$$ (5.95)

Die Gleichung gilt auch für $x^0\ne 0$, denn der Integrand ist die Nullkomponente eines Stromes $J_m=\mathrm{e}^{- \mathrm{i}k\cdot x}\,\overset{\leftrightarrow}{\partial}_mA(x)$, der wegen der Wellengleichung erhalten ist, $\partial_m J^m=0$.^5.8Die Kontinuitätsgleichung (5.20) hat zur Folge, daß das Raumintegral (5.96) über die Nullkomponente des Stromes bei lokalisierten Wellenpaketen nicht von der Zeit abhängt.

Setzen wir (5.96) in (5.90) ein, so schreibt sich mit dem Propagator

$$D(x)= \int\! \frac{d^3 k}{(2\pi)^3 k^0}\, \sin k\cdot x$$ (5.96)

die Lösung der homogenen Wellengleichung als Integral über die anfänglichen Werte des Feldes und seiner anfänglichen Zeitableitung

$$A^n_{\text{hom}}(x^\prime)=\int_{x^{0}={\text{konst}}}\! d^3 x\, D(x^\prime-x)\, \overset{\leftrightarrow}{\partial}_0\, A^n_{\text{hom}}(x)\ .$$ (5.97)

Das Wellenpaket erfüllt in der Lorenzeichung die entkoppelten Wellengleichungen $\Box A^m_{\text{hom}} = 0\,$. Seine Komponenten sind aber noch durch die Lorenzeichung $\partial_m A^m = 0$ (5.66) verknüpft. Da das retardierte Potential der Lorenzbedingung genügt (5.83), muß $\partial_m A^m_{\text{hom}} = 0$ gelten. Die vier Amplituden ${a^n}^\dagger (\vec{k})$ sind daher eingeschränkt

$$k_n {a^n}^\dagger (\vec{k})=0\ .$$ (5.98)

Zudem kann man noch, ohne die Lorenzbedingung zu verletzen und ohne die Potentiale meßbar abzuändern, mit Eichfunktionen $\chi$ umeichen (5.61), die die Wellengleichung erfüllen. Dies ändert die Amplituden um

$${a^{\prime\, n}}^\dagger (\vec{k})={a^{n}}^\dagger (\vec{k})+\mathrm{i}k^n \chi^\dagger(\vec{k})\ .$$ (5.99)

Dabei ist $\chi^\dagger(\vec{k})$ die Amplitude der Eichfunktion $\chi$.

Gemäß (5.99) sind von den vier Amplituden des Viererpotentials nur drei unabhängig und die Amplitude in Richtung des Viererwellenvektors kann weggeeicht werden (5.100). Das Wellenpaket enthält also pro Wellenvektor $\vec{k}$ zwei Freiheitsgrade. Dies entspricht den zwei Polarisationsrichtungen von Lichtstrahlen.