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Fernfeld räumlich begrenzter Ladungsdichten

Ist die Quelle $ j^m$, die das retardierte Viererpotential erzeugt, räumlich auf ein Gebiet beschränkt, dessen Ausdehnung klein ist gegen den Abstand $ r=\vert\vec{x}\vert$, so kann man den Integranden von (5.74) durch eine Entwicklung nach $ y^i/r$ nähern. Wir berücksichtigen beim Fernfeld $ A^m_{\text{fern}}$ des Potentials nur Anteile, die im Grenzfall $ r\rightarrow \infty$ bei konstanter retardierter Zeit $ t_-=t-r/c$ nicht stärker als $ 1/r$ abfallen, und nähern die unterschiedliche Retardierung der Beiträge von verschiedenen Orten $ \vec{y}$ durch eine Taylorreihe. Die Richtung von der Quelle ist $ \vec{n}=\vec{x}/r$.

\begin{equation*}\begin{aligned}\frac{1}{\vert\vec{x}-\vec{y}\vert}&=\frac{1}{r}...
...c{1}{2}} = r - \vec{n}\cdot\vec{y} + O(\frac{1}{r}) \end{aligned}\end{equation*}

$\displaystyle j^m(t-r/c + \vec{n}\cdot\vec{y}/c-O(\frac{1}{r}))=j^m(t_- )+ \fra...
...t_- )+ \frac{1}{2c^2}(\vec{n} \cdot\vec{y})^2\,\partial_t{}^2 j^m(t_- ) + \dots$ (5.101)

Dies gilt nur ungefähr, wenn sich während der Zeiten, um die sich die Lichtlaufzeiten verschiedener Teile der Quelle unterscheiden, die Quelle $ j^m$ nur wenig ändert.

In dieser Näherung ist das Fernfeld

$\displaystyle A^m_{\text{fern}}(t,\vec{x}) = \frac{1}{c\,r}\bigl (\int\! d^3 y\...
...+\frac{1}{2c^2} n^i\,n^j \int\! d^3 y\,y^i\,y^j\, \partial_t{}^2 j^m \bigr )\ ,$ (5.102)

wobei $ j^m$, $ \partial_t j^m$ und $ \partial_t{}^2 j^m$ die Argumente $ (t_-,\vec{y})$ haben und $ i,j\in\{1,2,3\}$ räumliche Komponenten abzählen. Terme mit höheren Zeitableitungen vernachlässigen wir.

Für das skalare Potential $ A^0 = \phi$ erhalten wir, da $ j^0/c = \rho$ die Ladungsdichte ist,

$\displaystyle \phi_{\text{fern}}(t,\vec{x}) = \frac{1}{r}\bigl (\int\! d^3 y\, ...
...rac{1}{2c^2} n^i\,n^j \frac{d^2}{dt^2}\int\! d^3 y\,y^i\,y^j\, \rho\ \bigr )\ ,$ (5.103)

also die zeitunabhängige Ladung $ q$ und zur retardierten Zeit $ t-{r}/{c}$ die Zeitableitung des elektrischen Dipolmoments $ \vec{P}$ und die zweiten Zeitableitungen der Quadrupolmomente $ Q^{ij}$, die wir als Matrixelemente einer symmetrischen, spurfreien Matrix $ Q$ auffassen,

$\displaystyle q = \int\! d^3 y\, \rho\ ,\ P^i = \int\! d^3 y\, y^i\rho\ ,\ Q^{i...
... ( 3 y^i y^j - \delta^{ij}\vec{y}^{\,2}\bigr )\rho\ ,\ \delta_{ij}Q^{ij}=0\ ,\ $ (5.104)
$\displaystyle \phi_{\text{fern}}(t,\vec{x}) = \frac{1}{r}\bigl ( q + \frac{1}{c...
...ot{Q}\vec{n}+ \frac{1}{6c^2}\int\! d^3 y\, \vec{y}^{\,2}\ddot{\rho}\ \bigr )\ .$ (5.105)

Das Integral über die Stromdichte $ \vec{\jmath}$, das beim Vektorpotential $ \vec{A}$ auftritt, kann man mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung, $ \dot{\rho} + \partial_k j^k = 0$, als Zeitableitung von $ \vec{P}$ schreiben,

$\displaystyle \int\! d^3 x\, j^i(\vec{x}) = \int\! d^3 x\, \bigl ( \partial_k (...
...k)- x^i\,(\partial_k j^k)\bigr ) = \int\! d^3 x\, x^i \,\dot{\rho}=\dot{P}^i\ ,$ (5.106)

denn das Integral über die räumlichen Ableitungen $ \partial_k (x^ij^k)$ gibt Randterme und verschwindet, weil nach Annahme die Ströme für große $ r$ verschwinden.

Ebenso kann man räumliche Momente der Stromdichte, genauer symmetrisierte Momente, als Zeitableitung des Quadrupolmomentes schreiben,

\begin{equation*}\begin{aligned}\int\! d^3 x\, (j^i x^j + j^j x^i) &= \int\! d^3...
...elta^{ij}\!\int\! d^3 x\, \vec{x}^2 \,\dot{\rho}\ . \end{aligned}\end{equation*}

Das magnetisches Moment $ \vec{M}$ einer Stromverteilung ist das antisymmetrisierte Moment

$\displaystyle \frac{1}{2c}\int\! d^3 x\, (x^j j^k - x^k j^j)=\varepsilon_{jki}M^i\ ,\ \vec{M}= \frac{1}{2c}\int\! d^3 x\, \vec{x}\times \vec{\jmath}\ .$ (5.108)

Damit erhalten wir

$\displaystyle \int\! d^3 x\, x^i j^j= c\, \varepsilon_{ijk}M^k + \frac{1}{6}\,\dot{Q}^{ij}+ \frac{1}{6}\,\delta^{ij}\!\int\! d^3 x\, \vec{x}^2\dot{\rho}$ (5.109)

und können die ersten zwei Terme von (5.103) auswerten

$\displaystyle \vec{A}_{\text{fern}}(t,\vec{x}) = \frac{1}{c\,r}\bigl(\dot{\vec{...
...Q}\vec{n}+ \frac{1}{6c}\vec{n}\int\! d^3 y\, \vec{y}^{\,2}\ddot{\rho}\bigr )\ .$ (5.110)

Der dritte Term in (5.103) betrifft zweite Zeitableitungen von Integralen über $ x^ix^j j^k$. Wir vernachlässigen sie so wie dritte Zeitableitungen von $ x^ix^jx^k\rho$.

Die Feldstärken bestimmen wir ebenfalls nur bis zur Ordnung $ 1/r$. Wegen

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial x^k}\frac{1}{r} =0+O(\frac{1}{r^2})\ ,\quad \frac{\partial}{\partial x^k}f(t-r/c)=-\frac{x^k}{cr}\frac{d}{dt} f\ ,$ (5.111)

wirkt in dieser Näherung $ \partial/\partial x^i$ wie die Zeitableitung, multipliziert mit der Komponente $ -n^i$ der Richtung zur Quelle. Daher ist das Magnetfeld $ \vec{B}=\rot \vec{A}=-\frac{\vec{n}}{c}\times\dot{\vec{A}}$,

$\displaystyle \vec{B}_{\text{fern}}(t,\vec{x})= - \frac{1}{c^2 r}\vec{n}\times ...
...\vec{P}}-\vec{n}\times \ddot{\vec{M}}+ \frac{1}{6c}\dddot{Q}\vec{n} \Bigr ) \ ,$ (5.112)

und das elektrische Feld $ \vec{E}=-\grad \phi - \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\vec{A}
=\frac{\vec{n}}{c}\dot{\phi}-\frac{1}{c}\dot{\vec{A}}$,

$\displaystyle E^i_{\text{fern}}(t,\vec{x})=-\frac{1}{c^2r} (\delta^{ij}-n^in^j)...
...vec{P}}- \vec{n}\times\ddot{\vec{M}}+ \frac{1}{6c}\dddot{Q}\vec{n} \Bigr )^j\ .$ (5.113)

Da $ (\delta^{ij}-n^in^j)$ Vektoren $ \vec{v}$ auf ihren zu $ \vec{n}$ senkrechten Teil $ \vec{v}_\perp$ projiziert, ist $ \vec{E}=-\dot{\vec{A}}_\perp/c$ und $ \vec{B}=\vec{n}\times\vec{E}$. In der Fernzone bilden also $ \vec{n}$, $ \vec{E}$ und $ \vec{B}$ ein orthogonales Rechtssystem, wobei $ \vec{E}$ und $ \vec{B}$ gleich groß sind. Die Energiestromdichte $ \vec{S}$ (5.31) ist nach außen gerichtet

$\displaystyle \vec{S}_{\text{fern}}= \frac{c}{4\pi}\vec{E}_{\text{fern}}\times\...
... c\vec{n}\,\frac{1}{8\pi}(\vec{E}_{\text{fern}}^2 + \vec{B}_{\text{fern}}^2)\ .$ (5.114)

Beschleunigte Ladungen strahlen Energie ab.




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