Fernfeld räumlich begrenzter Ladungsdichten

Ist die Quelle $j^m$, die das retardierte Viererpotential erzeugt, räumlich auf ein Gebiet beschränkt, dessen Ausdehnung klein ist gegen den Abstand $r=\vert\vec{x}\vert$, so kann man den Integranden von (5.74) durch eine Entwicklung nach $y^i/r$ nähern. Wir berücksichtigen beim Fernfeld $A^m_{\text{fern}}$ des Potentials nur Anteile, die im Grenzfall $r\rightarrow \infty$ bei konstanter retardierter Zeit $t_-=t-r/c$ nicht stärker als $1/r$ abfallen, und nähern die unterschiedliche Retardierung der Beiträge von verschiedenen Orten $\vec{y}$ durch eine Taylorreihe. Die Richtung von der Quelle ist $\vec{n}=\vec{x}/r$.

$$\begin{aligned}\frac{1}{\vert\vec{x}-\vec{y}\vert}&=\frac{1}{r}... ...c{1}{2}} = r - \vec{n}\cdot\vec{y} + O(\frac{1}{r}) \end{aligned}$$

$$j^m(t-r/c + \vec{n}\cdot\vec{y}/c-O(\frac{1}{r}))=j^m(t_- )+ \fra... ...t_- )+ \frac{1}{2c^2}(\vec{n} \cdot\vec{y})^2\,\partial_t{}^2 j^m(t_- ) + \dots$$ (5.101)

Dies gilt nur ungefähr, wenn sich während der Zeiten, um die sich die Lichtlaufzeiten verschiedener Teile der Quelle unterscheiden, die Quelle $j^m$ nur wenig ändert.

In dieser Näherung ist das Fernfeld

$$A^m_{\text{fern}}(t,\vec{x}) = \frac{1}{c\,r}\bigl (\int\! d^3 y\... ...+\frac{1}{2c^2} n^i\,n^j \int\! d^3 y\,y^i\,y^j\, \partial_t{}^2 j^m \bigr )\ ,$$ (5.102)

wobei $j^m$, $\partial_t j^m$ und $\partial_t{}^2 j^m$ die Argumente $(t_-,\vec{y})$ haben und $i,j\in\{1,2,3\}$ räumliche Komponenten abzählen. Terme mit höheren Zeitableitungen vernachlässigen wir.

Für das skalare Potential $A^0 = \phi$ erhalten wir, da $j^0/c = \rho$ die Ladungsdichte ist,

$$\phi_{\text{fern}}(t,\vec{x}) = \frac{1}{r}\bigl (\int\! d^3 y\, ... ...rac{1}{2c^2} n^i\,n^j \frac{d^2}{dt^2}\int\! d^3 y\,y^i\,y^j\, \rho\ \bigr )\ ,$$ (5.103)

also die zeitunabhängige Ladung $q$ und zur retardierten Zeit $t-{r}/{c}$ die Zeitableitung des elektrischen Dipolmoments $\vec{P}$ und die zweiten Zeitableitungen der Quadrupolmomente $Q^{ij}$, die wir als Matrixelemente einer symmetrischen, spurfreien Matrix $Q$ auffassen,

$$q = \int\! d^3 y\, \rho\ ,\ P^i = \int\! d^3 y\, y^i\rho\ ,\ Q^{i... ... ( 3 y^i y^j - \delta^{ij}\vec{y}^{\,2}\bigr )\rho\ ,\ \delta_{ij}Q^{ij}=0\ ,\$$ (5.104)

$$\phi_{\text{fern}}(t,\vec{x}) = \frac{1}{r}\bigl ( q + \frac{1}{c... ...ot{Q}\vec{n}+ \frac{1}{6c^2}\int\! d^3 y\, \vec{y}^{\,2}\ddot{\rho}\ \bigr )\ .$$ (5.105)

Das Integral über die Stromdichte $\vec{\jmath}$, das beim Vektorpotential $\vec{A}$ auftritt, kann man mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung, $\dot{\rho} + \partial_k j^k = 0$, als Zeitableitung von $\vec{P}$ schreiben,

$$\int\! d^3 x\, j^i(\vec{x}) = \int\! d^3 x\, \bigl ( \partial_k (... ...k)- x^i\,(\partial_k j^k)\bigr ) = \int\! d^3 x\, x^i \,\dot{\rho}=\dot{P}^i\ ,$$ (5.106)

denn das Integral über die räumlichen Ableitungen $\partial_k (x^ij^k)$ gibt Randterme und verschwindet, weil nach Annahme die Ströme für große $r$ verschwinden.

Ebenso kann man räumliche Momente der Stromdichte, genauer symmetrisierte Momente, als Zeitableitung des Quadrupolmomentes schreiben,

$$\begin{aligned}\int\! d^3 x\, (j^i x^j + j^j x^i) &= \int\! d^3... ...elta^{ij}\!\int\! d^3 x\, \vec{x}^2 \,\dot{\rho}\ . \end{aligned}$$

Das magnetisches Moment $\vec{M}$ einer Stromverteilung ist das antisymmetrisierte Moment

$$\frac{1}{2c}\int\! d^3 x\, (x^j j^k - x^k j^j)=\varepsilon_{jki}M^i\ ,\ \vec{M}= \frac{1}{2c}\int\! d^3 x\, \vec{x}\times \vec{\jmath}\ .$$ (5.108)

Damit erhalten wir

$$\int\! d^3 x\, x^i j^j= c\, \varepsilon_{ijk}M^k + \frac{1}{6}\,\dot{Q}^{ij}+ \frac{1}{6}\,\delta^{ij}\!\int\! d^3 x\, \vec{x}^2\dot{\rho}$$ (5.109)

und können die ersten zwei Terme von (5.103) auswerten

$$\vec{A}_{\text{fern}}(t,\vec{x}) = \frac{1}{c\,r}\bigl(\dot{\vec{... ...Q}\vec{n}+ \frac{1}{6c}\vec{n}\int\! d^3 y\, \vec{y}^{\,2}\ddot{\rho}\bigr )\ .$$ (5.110)

Der dritte Term in (5.103) betrifft zweite Zeitableitungen von Integralen über $x^ix^j j^k$. Wir vernachlässigen sie so wie dritte Zeitableitungen von $x^ix^jx^k\rho$.

Die Feldstärken bestimmen wir ebenfalls nur bis zur Ordnung $1/r$. Wegen

$$\frac{\partial}{\partial x^k}\frac{1}{r} =0+O(\frac{1}{r^2})\ ,\quad \frac{\partial}{\partial x^k}f(t-r/c)=-\frac{x^k}{cr}\frac{d}{dt} f\ ,$$ (5.111)

wirkt in dieser Näherung $\partial/\partial x^i$ wie die Zeitableitung, multipliziert mit der Komponente $-n^i$ der Richtung zur Quelle. Daher ist das Magnetfeld $\vec{B}=\rot \vec{A}=-\frac{\vec{n}}{c}\times\dot{\vec{A}}$,

$$\vec{B}_{\text{fern}}(t,\vec{x})= - \frac{1}{c^2 r}\vec{n}\times ... ...\vec{P}}-\vec{n}\times \ddot{\vec{M}}+ \frac{1}{6c}\dddot{Q}\vec{n} \Bigr ) \ ,$$ (5.112)

und das elektrische Feld $\vec{E}=-\grad \phi - \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\vec{A} =\frac{\vec{n}}{c}\dot{\phi}-\frac{1}{c}\dot{\vec{A}}$,

$$E^i_{\text{fern}}(t,\vec{x})=-\frac{1}{c^2r} (\delta^{ij}-n^in^j)... ...vec{P}}- \vec{n}\times\ddot{\vec{M}}+ \frac{1}{6c}\dddot{Q}\vec{n} \Bigr )^j\ .$$ (5.113)

Da $(\delta^{ij}-n^in^j)$ Vektoren $\vec{v}$ auf ihren zu $\vec{n}$ senkrechten Teil $\vec{v}_\perp$ projiziert, ist $\vec{E}=-\dot{\vec{A}}_\perp/c$ und $\vec{B}=\vec{n}\times\vec{E}$. In der Fernzone bilden also $\vec{n}$, $\vec{E}$ und $\vec{B}$ ein orthogonales Rechtssystem, wobei $\vec{E}$ und $\vec{B}$ gleich groß sind. Die Energiestromdichte $\vec{S}$ (5.31) ist nach außen gerichtet

$$\vec{S}_{\text{fern}}= \frac{c}{4\pi}\vec{E}_{\text{fern}}\times\... ... c\vec{n}\,\frac{1}{8\pi}(\vec{E}_{\text{fern}}^2 + \vec{B}_{\text{fern}}^2)\ .$$ (5.114)

Beschleunigte Ladungen strahlen Energie ab.