Wirkungsprinzip

Die inhomogenen Maxwellgleichungen (5.16) sind die Feststellung, daß die Wirkung $W[A,\phi]$ des Viererpotentials $A_m(x)$ und weiterer Felder $\phi$, die wir Materiefelder nennen, aber im folgenden nicht genauer angeben,

$$W[A,\phi]=W_{\text{Maxwell}}[A]+W_{\text{Materie}}[A,\phi]\ ,$$ (5.115)

$$W[A]_{\text{Maxwell}}= -\frac{1}{16\pi c}\int\! d^4x\, \eta^{km}\... ...l_k A_l -\partial_l A_k \bigr ) \bigl(\partial_m A_n -\partial_n A_m \bigr )\ ,$$ (5.116)

für physikalische Felder stationär ist bezüglich aller Variationen $\delta\!A_m (x)$, die am Rand des Integrationsgebietes verschwinden. Die Variationsableitungen von $W_{\text{Materie}}$ nach den Materiefeldern legt die Bewegungsgleichungen der Materie fest. Mit den Einzelheiten dieser Bewegungsgleichungen wollen wir uns allerdings nicht beschäftigen.

Es ist die Ableitung $\frac{\delta W}{\delta A}$ eines Funktionals definiert durch (4.21)

$$\delta W[A,\delta\!A] =\lim_{\lambda\rightarrow 0}\frac{1}{\lambd... ...] - W[A]) = \int\! d^4 x \, \delta\!A_l {(x)}\frac{\delta W}{\delta\!A_l(x)}\ .$$ (5.117)

Setzen wir in $W_{\text{Maxwell}}$ die variierten Felder $A+\lambda \delta\!A$ ein und leiten wir nach $\lambda$ ab, so erhalten wir für die Änderung von $W_{\text{Maxwell}}$ vier Terme mit $\delta\!A$ von gleicher Form, die sich zu

$$\delta W_{\text{Maxwell}}= -\frac{1}{4\pi c}\int\! d^4x\, \eta^{k... ...^{ln}\, (\partial_k\, \delta\!A_l) \bigl(\partial_m A_n -\partial_n A_m \bigr )$$ (5.118)

summieren. Formen wir den Integranden mit der Produktregel der Differentation um

$$\partial_k \bigl ( \eta^{km}\eta^{ln}\,\delta\!A_l \bigl(\partial... ...l (\eta^{km}\eta^{ln}\, \bigl(\partial_m A_n -\partial_n A_m \bigr )\bigr )\, ,$$ (5.119)

so können wir den ersten Term integrieren. Er trägt nur zu Randtermen bei und verschwindet für Variationen $\delta\!A_l (x)$, die am Rand verschwinden. Am zweiten Term lesen wir die Variationsableitung der Maxwellwirkung nach $A_l(x)$ für Variationen ab, die am Rand verschwinden

$$\frac{\delta W_{\text{Maxwell}}}{\delta\!A_l}= \frac{1}{4\pi c}\partial_k F^{kl}\, ,$$ (5.120)

wobei $F^{kl}= \eta^{km}\eta^{ln}F_{mn}$ (5.13) und $F_{mn}(x)=\partial_m A_n(x) - \partial_n A_m(x)$ (5.57) ist.

Wir nennen die Variationsableitung der Materiewirkung den Strom $j$

$$\frac{\delta W_{\text{Materie}}}{\delta\!A_l}=-\frac{1}{c^2}j^l\ .$$ (5.121)

Mit dieser Notation sind die inhomogenen Maxwellgleichungen (5.16) die Bedingung, daß die Gesamtwirkung $W_{\text{Maxwell}}+W_{\text{Materie}}$ stationär ist und verschwindende Variationsableitungen hat

$$0=4\pi c \frac{\delta W}{\delta\!A_l}= \partial_k F^{kl}-\frac{4\pi}{c}j^l\ .$$ (5.122)

Die homogenen Maxwellgleichungen (5.10) sind wegen der Definition der Feldstärken $F_{mn}(x)=\partial_m A_n(x) - \partial_n A_m(x)$ (5.57) identisch erfüllt.