Eulerableitung

Die Maxwellwirkung (5.117) ist ein lokales Funktional der Felder $A_l(x)$, das heißt, sie läßt sich als Integral

$$W[A]=\int\! d^4 x\, {\mathscr L}(A(x),\partial A(x), x)$$ (5.123)

über eine Lagrangedichte ${\mathscr L}(A,\partial A, x)$ schreiben, die von den Koordinaten $x$ und den Jet-Variablen $A_l$, $\partial_k A_l$ und eventuell von höheren Ableitungen der Felder abhängt.

Die Variationsableitung einer lokalen Wirkung ergibt sich aus der Ableitung der Lagrangedichte $\mathscr{L}(A+\lambda \delta\!A,\partial (A+\lambda \delta\!A), x)$ nach $\lambda$

$$\delta\mathscr{L}= \partial_\lambda \mathscr{L}(A+\lambda \delta\... ...rtial_k\, \delta\! A_l) \frac{\partial {\mathscr L}}{\partial (\partial_k A_l)}$$ (5.124)

Dies können wir mit der Produktregel als Summe von vollständigen Ableitungen und von Produkten mit undifferenzierten $\delta\!A_l$ schreiben

$$\delta\mathscr{L}= \delta\!A_l \bigl ( \frac{\partial {\mathscr L... ... \delta\!A_l \frac{\partial {\mathscr L}}{\partial (\partial_k A_l)} \bigr )\ .$$ (5.125)

Die Funktion $\frac{\hat{\partial}{\mathscr L}}{\hat{\partial}A_l}$ der Jet-Variablen, die $\delta\!A_l$ nach Abwälzen der Ableitungen multipliziert,

$$\begin{aligned}\frac{\hat{\partial}{\mathscr L}}{\hat{\partial}... ...thscr L}}{\partial (\partial_k A_l)\partial x^k}\ , \end{aligned}$$

heißt Eulerableitung der Lagrangedichte.

Die Lagrangedichte $\mathscr{L}$ ändert sich bei Änderung der Argumente um $\delta A_l$ mal der Eulerableitung und um die vollständige Ableitung von $\delta\!A_l \frac{\partial {\mathscr L}}{\partial (\partial_k A_l)}$. Diese Identität in den Jet-Variablen gilt unabhängig davon, welche Änderungen $\delta\!A_l$ wir betrachten, ob sie eine beliebige Abweichung von physikalischen Feldern bezeichnet, die für große Raumzeitargumente verschwindet, oder ob sie für die Änderung der Felder unter einer Transformationsgruppe steht.

Aus (5.126) folgt die Variationsableitung der lokalen Wirkung

$$\delta W[A,\delta\!A] =\int\! d^4x\,\left ( \delta\!A_l \frac{\ha... ...!A_l \frac{\partial {\mathscr L}}{\partial (\partial_k A_l)} \bigr )\right )\ .$$ (5.127)

Die Ableitungsterme können für alle Funktionen $\delta\!A_l (x)$ und $A_l(x)$ integriert werden und tragen nur zu Randtermen bei. Betrachten wir Variationen $\delta\!A_l (x)$, die am Rand, das heißt für große Werte der räumlichen oder zeitlichen Koordinaten, verschwinden, so verschwinden diese Randterme. Daher ist die Variationsableitung jeder lokalen Wirkung für Variationen der Felder, die am Rand verschwinden, die Eulerableitung der Lagrangedichte

$$\frac{\delta W}{\delta\!A_l}= \frac{\hat{\partial}{\mathscr L}}{\hat{\partial}A_l}\ .$$ (5.128)

Physikalische Felder, wie das Viererpotential der Elektrodynamik, sind dadurch ausgezeichnet, daß sie eine lokale Wirkung (5.124) extremal machen. Sie erfüllen mit geeigneter Lagrangedichte $\mathscr L$ die Differentialgleichungen

$$\bigl ( \frac{\partial {\mathscr L}}{\partial A_l}- \partial_k \f... ...al (\partial_k A_l)} \bigr )_{\bigl \arrowvert_{A_{\text{physikalisch}}}} =0\ .$$ (5.129)