Symmetrien

Die homogenen Maxwellgleichungen behalten ihre Form in beliebigen Koordinatensystemen. Seien die Koordinaten $x(x^\prime)$ invertierbar als Funktion der Koordinaten $x^\prime$ gegeben und seien die Feldstärken $F_{kl}(x)$ als Lösungen der homogenen Maxwellgleichungen (5.10) durch antisymmetrisierte Ableitungen eines Viererpotentials (5.57) $A_l(x)$ gegeben, dann definiert

$$A^\prime_s(x^\prime)=\frac{\partial x^l}{\partial x^{\prime\,s}}A_l(x(x^\prime))$$ (5.130)

das zugehörige Viererpotential im gestrichenen Koordinatensystem.

Die Feldstärken im gestrichenen System

$$\begin{split}F^\prime_{rs}(x^\prime)&=\partial^\prime_r \bigl... ...x^l}{\partial x^{\prime\,r}} \bigr ) \partial_k A_l \end{split}$$ (5.131)

hängen linear von den Feldstärken im anderen Koordinatensystem ab, denn jede in zwei Ableitungsindizes antisymmetrisierte Ableitung $\frac{\partial^2 x^l}{\partial x^{\prime\,r}\partial x^{\prime\,s}}-\frac{\partial^2 x^l}{\partial x^{\prime\,s}\partial x^{\prime\,r}}$ verschwindet und im letzten Term kann die Antisymmetrisierung durch Umbenennung der Summationsindizes in eine Antisymmetrisierung in $k$ und $l$ umgeschrieben werden

$$F^\prime_{rs}(x^\prime)=\frac{\partial x^k}{\partial x^{\prime\,r}}\frac{\partial x^l}{\partial x^{\prime\,s}} F_{kl}(x(x^\prime))\ .$$ (5.132)

Die Transformationen (5.131, 5.133) sind Tensortransformationen (A.79). Die transformierten Komponenten als Funktion der Koordinaten $x^\prime$ sind linear in den ursprünglichen Komponenten am Ort $x(x^\prime)$. Zudem treten passend zum Indexbild Transformationsmatrizen $\frac{\partial x}{\partial x^\prime}$ auf. Weil die Transformation linear ist, sind Summe und Vielfache von Tensoren gleichen Transformationsgesetzes wieder Tensoren und bilden Vektorräume.

Die Assoziativität des Tensortransformationsgesetzes folgt aus der Kettenregel der Differentation, denn sei $x^\prime$ durch eine weitere Koordinatentransformation als Funktion von $x^{\prime\prime}$ gegeben, so gilt für die verkettete Funktion $x(x^\prime(x^{\prime\prime}))$

$$\frac{\partial x^k}{\partial x^{\prime\prime\,r}}= \frac{\partial... ...}}{\partial x^{\prime \prime\,r}}\frac{\partial x^k}{\partial x^{\prime\,m}}\ .$$ (5.133)

Antisymmetrisierte Ableitungen von antisymmetrischen Tensorfeldern mit unteren Indizes, die wie (5.131) und (5.133) transformieren, transformieren ihrerseits wieder wie ein Tensorfeld mit einem zusätzlichen Index, denn störende zweite Ableitungen $\frac{\partial^2 x^l}{\partial x^{\prime\,r}\partial x^{\prime\,s}}$ verschwinden durch die Antisymmetrisierung. Völlig analog zur Herleitung von (5.133) aus dem Transformationsgesetz (5.131) folgt aus (5.133), daß die antisymmetrisierte Ableitung von $F_{kl}=-F_{lk}$ wie ein Tensor transformiert

$$\partial_t^\prime F^\prime_{rs} + \partial_r^\prime F^\prime_{st}... ...}} \bigl ( \partial_m F_{kl} + \partial_k F_{lm} + \partial_l F_{mk} \bigr )\ .$$ (5.134)

Sind also die homogenen Maxwellgleichungen in einem Koordinatensystem erfüllt, so auch in jedem anderen, denn der Sachverhalt, daß alle Komponenten eines Tensors verschwinden, ist invariant unter Tensortransformationen.

Auch die inhomogenen Maxwellgleichungen (5.16) sind invariant unter beliebigen Koordinatentransformationen, wenn wir die inhomogenen Maxwellgleichungen als Definition der Ladungs- und Stromdichte lesen. Jedes Viererpotential $A_m(x)$ ist Lösung der Maxwellgleichungen für irgendeine Ladungs- und Stromverteilung.

Aber Elektrovakuum, das ist ein Raumzeitgebiet mit $j^n(x)=0$, in dem zwar elektromagnetische Feldstärken, nicht aber Ladungs- und Stromdichten vorhanden sind, ist nicht unter allgemeinen Koordinatentransformationen invariant.

Um Invarianztransformationen von Elektrovakuum zu bestimmen, untersuchen wir die zu einer infinitesimalen Transformation, $x^{\prime\, m}= x^m - \xi^m$, $x^{m}= x^{\prime m} + \xi^m$, gehörige Änderung $\delta A_s (x) = A^\prime_s(x)-A_s(x)$ der Felder. Das Vektorfeld $\xi^m$ hängt zunächst beliebig von $x$ ab. Da wir nur in erster Ordnung in $\xi^m$ rechnen, ist $\xi^m(x)=\xi^m(x^\prime)$, denn wenn man $\xi^m(x+\xi)$ entwickelt, ist die Differenz von höherer Ordnung in $\xi$. Für die partiellen Ableitungen $\frac{\partial x^l}{\partial x^{\prime s}}$ erhalten wir daher $\delta_s{}^l+\partial_s \xi^l$ und (5.131) lautet näherungsweise

$$A^{\prime}_s(x-\xi)=A^{\prime}_s(x)- \xi^n\partial_n A^\prime_s(x)= A_s(x)+(\partial_s \xi^n) A_n\ .$$ (5.135)

Bis auf Terme höherer Ordnung ist $\xi^n\partial_n A^\prime_s(x)=\xi^n\partial_n A_s(x)$. Also ändert sich $A_s$ um

$$\delta A_s (x)= \xi^n\partial_n A_s + (\partial_s\xi^n) A_n\ .$$ (5.136)

Dies ist die Lieableitung ${\mathscr L}_\xi A_s$ des Vektorfeldes $A$ längs des Vektorfeldes $\xi$ (A.100). Die Feldstärken ändern sich um

$$\delta F_{rs} (x)=\partial_r\delta A_s - \partial_s\delta A_r = \xi^n\partial_n F_{rs} + (\partial_r\xi^n) F_{ns} + (\partial_s\xi^n) F_{rn}\ .$$ (5.137)

Jedes Elektrovakuum wird in Elektrovakuum transformiert, wenn für alle $F_{rs}=-F_{sr}$ und für alle $\partial_r F_{ks}$, deren total antisymmetrischer Anteil $\partial_{[r} F_{ks]}=0$ verschwindet (A.29) und die zu Elektrovakuum $\partial^k F_{ks}=0$ gehören, die Änderung der Strom- und Ladungsdichte

$$\partial^k\delta F_{kl}= \xi^r\partial_r \partial^k F_{kl}+ (\par... ...^kF_{kr} + (\partial^k\partial_k \xi^r)F_{rl}+(\partial^k\partial_l\xi^r)F_{kr}$$ (5.138)

verschwindet. Die Terme mit Ableitungen von $F_{rs}$ haben im Elektrovakuum die Form

$$\begin{split}\frac{1}{2}(\partial_k\xi_r\eta_{ls} + \partial_... ...i_l +\partial_l\xi_s-2\eta_{ls}\partial_t\xi^t) \ , \end{split}$$ (5.139)

denn nur der in $k$ und $s$ antisymmetrische Teil trägt bei und $\eta_{rk}\partial^r F^{ks}$ verschwindet. Die Terme müssen sogar für beliebige $\partial^r F^{ks}$ verschwinden, ein etwaiger in $r$, $k$ und $s$ total antisymmetrischer Anteil und ein Anteil proportional zu $\eta^{rk}$ oder $\eta^{rs}$ trägt nicht bei. Daher müssen die Koeffizienten bei $\partial^r F^{ks}$ verschwinden

$$0=\partial_k\xi_r\eta_{ls} + \partial_r\xi_k\eta_{ls} -\partial_s\xi_r\eta_{lk} - \partial_r\xi_s\eta_{lk} + \eta_{rk}X_{ls}-\eta_{rs}X_{lk}\ .$$ (5.140)

Summieren mit $\eta^{ls}$ ergibt die konforme Killinggleichung (E.73) der flachen, vierdimensionalen Raumzeit

$$0=\partial_k\xi_r+ \partial_r\xi_k-\frac{1}{2}\eta_{kr}\partial_t\xi^t$$ (5.141)

als notwendige Bedingung an die infinitesimale Koordinatentransformation, damit sie jedes Elektrovakuum auf Elektrovakuum abbildet.

Gemäß (E.84) folgt im flachen Raum aus der konformen Killinggleichung

$$\partial_s\partial_l \xi_r= \eta_{rs}b_l+\eta_{rl}b_s-\eta_{sl}b_r\ .$$ (5.142)

Damit bestätigt man leicht, daß die konforme Killinggleichung auch hinreichend für das Verschwinden von (5.139) ist. Die Symmetrien von Elektrovakuum, die man aus infinitesimalen Transformationen erzeugen kann, sind konforme Transformationen.

Damit auch die materieerfüllten Maxwellgleichungen unter konformen Transformationen invariant sind, muß der Strom $j_l$ so wie $\partial^k F_{kl}$ (5.139, 5.142) transformieren

$$\delta j_l = \xi^r\partial_r j_l+ (\partial_l \xi^r) j_r + \frac{1}{2}(\partial_r \xi^r)j_l\ .$$ (5.143)

Dies ist die infinitesimale Transformation einer Vektordichte (B.45) vom Gewicht 1/2

$$j^{\,\prime}_{\, l}(x^\prime)= \sqrt{\text{det}\frac{\partial x}{... ...me}}}}\, \frac{\partial x^s}{{\partial x^{\prime\, l}}} \,j_{s}(x(x^\prime))\ .$$ (5.144)

Die Eigenschaften der Materie schränkt die Symmetriegruppe physikalischer Vorgänge weiter ein. Gleichmäßige Beschleunigung läßt sich von unbeschleunigter Bewegung unterscheiden. Von den konformen Transformationen bilden aber nur Dilatationen (E.93) und Poincaré-Transformationen gerade Weltlinien wieder auf Geraden ab.

Zudem hat die Strahlung, die von angeregten Atomen und Molekülen ausgesendet wird, charakteristische Frequenzen. Wenn man diese Frequenzen durch eine Dilatation mit einem willkürlichen Faktor vergrößert, erhält man nicht die charakteristischen Frequenzen von Atomen und Molekülen, die tatsächlich existieren. Von der konformen Invarianzgruppe der Maxwellgleichungen verbleibt als Symmetriegruppe physikalischer Vorgänge die Poincaré-Gruppe.

Die Lagrangedichte der Maxwell-Wirkung (5.117) ändert sich unter einer infinitesimalen Koordinatentransformation (5.138) um

$$\begin{aligned}\delta \bigl (F_{rs}F^{rs}\bigr )&= 2( \xi^n\par... ...partial_r\xi_l+\partial_l\xi_r)F^{l}{}_{s}F^{rs}\ . \end{aligned}$$

Solch eine Transformation ist eine Symmetrie der Wirkung, wenn sich die Änderung der Lagrangedichte identisch in den Jet-Variablen $A_n$ und $\partial_m A_n$ als Ableitungen schreiben läßt, wenn also die Euler-Ableitung von $\delta (F_{rs}F^{rs} )$ verschwindet (G.65). Dazu ist notwendig und hinreichend, daß der letzte Term in (5.146) verschwindet und $\xi^m$ die konforme Killinggleichung (E.62) erfüllt. Die Maxwellwirkung ist unter konformen Transformationen, nicht aber unter allgemeinen Koordinatentransformationen, invariant.

Die Maxwell-Lagrangedichte ist invariant unter Eichtransformationen

$$\delta_{\Lambda}A_s = \partial_s \Lambda\ ,$$ (5.146)

denn die Feldstärken $F_{mn}=\partial_m A_n-\partial_n A_m$ ändern sich nicht, wenn man zum Viererpotential einen Vierergradienten hinzufügt. Wenn wir jede konforme Transformation mit einer Eichtransformation mit $\Lambda=-\xi^n A_n$ begleiten, treten im Transformationsgesetz des Viererpotentials keine Ableitungen von $\xi^m$ auf und das Viererpotential transformiert mit eichinvarianten Feldstärken

$$\delta_{\text{kombiniert}}A_s(x)= \xi^n\partial_n A_s + (\partial_s\xi^n) A_n - \partial_s \bigl (\xi^n A_n\bigr )= \xi^n F_{ns}\ .$$ (5.147)

Zu jedem konformen Killingfeld $\xi^m$ gehört eine Symmetrie der Maxwellwirkung unter der kombinierten Transformation und nach Noethertheorem der erhaltene Strom (G.20)

$$j^k_{\text{kombiniert}} =-\frac{1}{4\pi c}\bigl ((\xi^n F_{nl})F^{kl}-\frac{1}{4}\xi^k F_{rs}F^{rs}\bigr ) =\xi_n T^{nk}\ ,$$ (5.148)

$$T^{kl} = -\frac{1}{4\pi c}\bigl ( F^k{}_nF^{ln}-\frac{1}{4}\eta^{kl}F_{mn}F^{mn}\bigr )\ .$$ (5.149)

Dabei sind $T^{kl}$ die Komponenten des Energie-Impulstensors (5.24).

Die Komponenten des Energie-Impulstensors sind als Energiedichte $T^{00}$, Energiestrom $T^{0i}$, Impulsdichten $T^{i0}$ und Impulsströme $T^{ij},\quad i,j\in\{1,2,3\},$ der elektromagnetischen Felder zu deuten, denn per Definition ist die Energie die Erhaltungsgröße, die zur Invarianz der Wirkung unter Zeittranslationen $\xi^m=(1,0,0,0)$ gehört, und der Impuls gehört zur Invarianz unter räumlichen Translationen, zum Beispiel $\xi^m=(0,1,0,0)$.

Ein gleichförmig bewegter Beobachter, der das Ereignis mit den Poincaré-transformierten Koordinaten $x^{\prime\,m} = \Lambda^m{}_n x^n+a^m$ durchläuft, mißt dort elektromagnetische Feldstärken $F^\prime_{mn}(x^\prime)= \Lambda_m{}^k\Lambda_n{}^lF_{kl}(x)$ (5.133). Es stimmen nämlich die Elemente $\Lambda^{-1\,k}{}_m$ der inversen Lorentzmatrix wegen $\Lambda^T\eta\Lambda=\eta$ (D.21) mit $\Lambda_m{}^k=\eta_{mn}\Lambda^n{}_l\,\eta^{lk}$ überein, $\Lambda^{T-1}=\eta\Lambda\eta^{-1}$.

Für die Komponenten $E^i=F_{0i}$ und $B^k=-\epsilon_{kij}F_{ij}/2$ des elektrischen und magnetischen Feldes besagt das Transformationsgesetz insbesondere, wenn wir die Summation aufspalten,

$$\begin{aligned}E^{\prime\,i}&=(\Lambda_0{}^0\Lambda_i{}^j-\Lamb... ...da_i{}^k\Lambda_j{}^l(-\epsilon_{klm}B^m) \bigr)\ . \end{aligned}$$

Dabei sind, falls sich der Beobachter mit Geschwindigkeit $v$ in Richtung $\vec{n}$ bewegt und unverdrehte Richtungen verwendet,

$$\Lambda^0{}_0=\gamma \ ,\quad \Lambda^0{}_i = \Lambda^i{}_0=-\gam... ...bda^i{}_j = \delta^i{}_j + (\gamma - 1) n^in^j\ ,\quad \gamma=1/\sqrt{1-v^2}\ ,$$ (5.151)

die Komponenten der Lorentzmatrix (3.9). Der bewegte Beobachter mißt folglich

$$\begin{aligned}\vec{E}^{\,\prime}&=\gamma \vec{E} + \vec{n}\cdo... ...amma)\,\vec{n} - \gamma v \,\vec{n}\times\vec{E}\ , \end{aligned}$$

oder, wenn wir die Felder in ihre Anteile parallel und senkrecht zur Bewegungsrichtung $\vec{n}$ zerlegen,

$$\begin{aligned}\vec{E}_\parallel^{\,\prime}&=\vec{E}_\parallel\... ...rt{1-v^2}} (\vec{B}_\perp -\vec{v}\times\vec{E})\ . \end{aligned}$$