Geladenes Punktteilchen

Es ist bemerkenswert, daß diese ungleiche Transformation der parallelen und senkrechten Anteile zur Folge hat, daß das elektrische Feld einer gleichförmig bewegten Punktladung jederzeit zu dem Ort zeigt, an dem es augenblicklich ist: Ein bei $\vec{x}=0$ ruhendes Teilchen der Ladung $q$ erzeugt bei $(t,x,y,z)$ das elektrische Feld

$$\vec{E}(t,x,y,z)= \frac{q}{r^3}\vec{r}$$ (5.154)

Die $y$- und $z$-Komponenten des elektrischen Feldes erscheinen einem Beobachter, der sich mit Geschwindigkeit $v$ entgegen der $x$-Achse bewegt, um $1/\sqrt{1-v^2}$ vergrößert,

$$\bigl(E_x^\prime,E_y^\prime,E_z^\prime\bigr)= \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\frac{q}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \bigl(\sqrt{1-v^2} x, y , z\bigr)\ ,$$ (5.155)

und in eigenen Koordinaten $x= (x^\prime -vt^\prime)/\sqrt{1-v^2}$, $y=y^\prime$ und $z=z^\prime$,

$$\begin{aligned}\vec{E^\prime}(t^\prime,x^\prime,y^\prime,z^\pri... ...)^{3/2}}\frac{\vec{e}(t^\prime)}{r^{\prime\,2}} \ . \end{aligned}$$

Das elektrische Feld eines Teilchens, das die Weltlinie $\vec{w}(t)= \vec{w}(0) +\vec{v} t$ gleichförmig durchläuft, zeigt zur Zeit $t$ am Ort $\vec{x}$ in Richtung $\vec{x}-\vec{w}(t)=r \vec{e}$ vom augenblicklichen Ort des Teilchens $\vec{w}(t)$ zu $\vec{x}$. Das Feld ist nicht radialsymmetrisch, sondern hängt vom Winkel $\theta$ zwischen der Geschwindigkeit und der Richtung $\vec{e}$ vom Teilchen ab. In Bewegungsrichtung ist es um $(1-v^2)^{3/2}$ schwächer als quer dazu.

Ein relativistisches, geladenes Punktteilchen, das eine Weltlinie $\Gamma:s\mapsto x(s)$ durchläuft, koppelt durch einen Zusatzterm, die Wechselwirkung

$$W_{\text{Kopplung}}[A,x]=-\frac{q}{c}\int\! ds\, \frac{dx^m}{ds} A_m(x(s))\ ,$$ (5.157)

zur Wirkung (4.14) des freien Teilchens und der Maxwellwirkung (5.117) des freien elektromagnetischen Feldes an die elektromagnetischen Felder $A_l(x)$.

Die Wechselwirkung $W_{\text{Kopplung}}$ ist bis auf Randterme invariant unter Reparametrisierung $s(s^\prime)$ der Weltlinie und unter Eichtransformationen $\delta A_m = \partial_m \Lambda$. Die Wechselwirkung ist auch invariant unter allgemeinen Koordinatentransformationen, allerdings ist die Maxwell-Wirkung nur unter der Untergruppe der konformen Transformationen invariant und die Wirkung der Punktteilchen nur unter der noch kleineren Gruppe der Poincaré-Transformationen. Insbesondere ist wegen der Translationsinvarianz der Gesamtimpuls und die Gesamtenergie erhalten.

Wenn wir die Weltlinie $x(s)$ variieren, ändert sich der Integrand von $W_{\text{Kopplung}}$ in erster Ordnung um

$$\begin{split}\frac{d(x^m+\delta x^m)}{ds} A_m(x+\delta x)-\fr... ...^m A_m \bigr ) +\delta x^n F_{nm}\frac{dx^m}{ds}\ . \end{split}$$ (5.158)

Der erste Term ist eine Ableitung, die zu $\delta W_{\text{Kopplung}}$ nur Randterme beiträgt und die verschwinden, wenn die Variation $\delta x^m$ am Rand verschwindet. Kombiniert mit der Variation der Wirkung (4.14) des freien Teilchens ergeben sich die Bewegungsgleichungen

$$\frac{dp^n}{ds} = \frac{q}{c} F^{n}{}_m\frac{dx^m}{ds}$$ (5.159)

mit Teilchenimpulsen $p^n$, die durch (4.95) gegeben sind.

Die Bewegungsgleichungen sind invariant unter Reparametrisierungen $s(s^\prime)$. Wählen wir als Bahnparameter die Zeit $s=t$, so stimmen sie überein mit den Gleichungen (5.36), die die Erhaltung der Gesamtenergie und des Gesamtimpulses garantieren und aus denen man die Lorentzkraft abliest.

Um die Auswirkung der Kopplung auf das elektromagnetische Feld zu bestimmen, schreiben wir sie als

$$W_{\text{Kopplung}}\,[A,x]=-\frac{q}{c}\int\!d^4y \, \int\! ds\, \frac{dx^l}{ds} \delta^4{(y-x(s))} A_l(y)$$ (5.160)

und lesen den elektromagnetischen Strom als Variationsableitung $-c^2 \frac{\delta W_{\text{Kopplung}}}{\delta A_l}$ (5.122) ab

$$j^l(y)= q\, c\int\!ds\, \delta^4(y-x(s))\frac{dx^l}{ds}\ .$$ (5.161)

Wählen wir in diesem reparametrisierungsinvarianten Ausdruck speziell die Parametrisierung $s=t$, so können wir mit der $\delta$-Funktion $\delta(y^0-ct)$ die Integration ausführen und erhalten für die elektrische Ladungs- und Stromdichte des Punktteilchens mit Bahnkurve  $\vec{x}(t)$

$$\rho(t,\vec{y})=q\, \delta^3(\vec{y}-\vec{x}(t))\, ,\quad \vec{\jmath}\,(t,\vec{y})=q\, \frac{d\vec{x}}{dt}\, \delta^3(\vec{y}-\vec{x}(t))\ .$$ (5.162)

Die Strom- und Ladungsdichte erzeugt gemäß (5.81) das nach Liénard und Wichert benannte Viererpotential

$$A_m(x)=\frac{2q}{c}\int\! ds\, \delta((z(s)-x)^2)\,\theta(x^0-z^0(s))\,\frac{dz_m}{ds} =\frac{q}{c}\,\frac{u_m}{y\cdot u}\ .$$ (5.163)

Dabei haben wir, um das Argument des Potentials $x=(x^0,x^1,x^2,x^3)$ nennen zu können, die Weltlinie des Teilchens mit $z(s)$ bezeichnet und kürzer $u$ für $dz/ds$ sowie $y$ für die Differenz $x-z(s)$ geschrieben. Genauer gesagt zeigt $y$ von der Ursache zur Auswirkung: von dem Ereignis $z(s)$, in dem die Weltlinie des Teilchens den Rückwärtslichtkegel von $x$ durchläuft, zum Ereignis $x$, dessen Potential das Teilchen bewirkt.

Für die folgenden Rechnungen verwenden wir einfachheitshalber ein Maßsystem mit $c=1$ und unterstellen, daß die Weltlinie mit der Eigenzeit parametrisiert ist,

$$u=\frac{dz}{ds}\ ,\quad u^2 = 1\ .$$ (5.164)

Die Eigenzeit auf der Weltlinie, $s$, definiert die Zeit $s(x)$, die ein Beobachter bei $x$ mit Licht von $z(s)$ gerade auf der Uhr des Teilchens ablaufen sieht. Sie hat überall auf dem Vorwärtslichtkegel von $z(s)$ den Wert $s$. Der Differenzvektor $y$ hängt auch über $s(x)$ von $x$ ab, er ist lichtartig und zukunftsgerichtet,

$$y(x) = x - z(s(x))\ ,\quad y^2=0\ ,\quad y^0 > 0\ .$$ (5.165)

In räumliche und zeitliche Komponenten aufgespaltet, gilt

$$y=\bigl(r,\vec{x}-\vec{z}(s(x))\bigr)=r(1,\vec{n})\ ,$$ (5.166)

wobei $r$ den Abstand und $\vec{n}$ den Richtungsvektor von der Ursache zur Auswirkung bei $\vec{x}$ bezeichnet. Die Vierergeschwindigkeit ist $u=1/\sqrt{1-v^2}(1,\vec{v})$. Folglich ist das Skalarprodukt

$$y\cdot u = \frac{r}{\sqrt{1-v^2}}(1-\vec{v}\vec{n})\ .$$ (5.167)

Die Ableitungen von $s(x)$ bestimmen wir durch Ableiten von $y^2=0$,

$$0 = (\delta_m{}^n - u^n\,\partial_m s)\,y_n\ ,\quad \partial_m s = \frac{y_m}{y\cdot u}=:k_m\ .$$ (5.168)

Hierbei hat der Vierervektor $k$ die Zerlegung

$$k=\frac{\sqrt{1-v^2}}{1-\vec{v}\vec{n}}(1,\vec{n})\ .$$ (5.169)

Damit können wir die Ableitungen von $y$ und $y\cdot u$ durch die Viererbeschleunigung

$$\dot{u}=\frac{du}{ds}=\frac{dt}{ds}\frac{d}{dt}\bigl(\frac{1}{\sq... ...v}\frac{\vec{v}\vec{a}}{1-v^2}\bigr)\ ,\quad \vec{a}=\frac{d^2\vec{x}}{dt^2}\ ,$$ (5.170)

und die bisher eingeführten Größen ausdrücken,

$$\begin{aligned}\partial_m y^n&=\delta_m{}^n - u^n k_m\ ,\\ \par... ...ot \dot{u}\, k_m =u_m + (y\cdot \dot{u}-1)\, k_m\ . \end{aligned}$$

Wir erhalten so die Feldstärken

$$\begin{aligned}F_{mn}&= \partial_m A_n - \partial_n A_m = -\fra... ...ac{q}{(y\cdot u)}(\dot{u}_m-u_m\, k\cdot\dot{u})\ . \end{aligned}$$

Insbesondere besagt dies für das elektrische Feld, $E^i=F_{0i}=k_0 w_i - k_i w_0$,

$$\vec{E}=\frac{q(1-v^2)}{r^2(1-\vec{v}\vec{n})^3}\bigl(\vec{n}- \v... ...-\vec{v}\vec{n})^3}\,\vec{n}\times\bigl((\vec{n}-\vec{v})\times\vec{a}\bigr)\ .$$ (5.173)

Sein beschleunigungsunabhängiger Teil fällt mit $1/r^2$ ab und zeigt nicht in Richtung $\vec{n}$ von der Ursache, dem retardierten Ereignis $z$ zur Auswirkung bei $x$, sondern in Richtung von $\vec{x}-(\vec{z}+r\vec{v})$, weg von dem Bestimmungsort $\vec{z}+r\vec{v}$, den das Teilchen mit gleichförmiger Geschwindigkeit $\vec{v}$ in dem Augenblick erreichen würde, in dem es sich bei $\vec{x}$ auswirkt.

Der beschleunigungsabhängige Teil, das Strahlungsfeld, fällt wie $1/r$ ab und ist senkrecht auf der Richtung $\vec{n}$ von der Ursache zum Ort $\vec{x}$.

Das Magnetfeld des Teilchens steht senkrecht auf $\vec{n}$ und $\vec{E}$. Denn es ist $k^0=\vert\vec{k}\vert$ und

$$B^k=-\epsilon_{ijk}k_iw_j= \epsilon_{ijk}k^iw_j =\epsilon_{ijk}\,{k^i}/{k^0}\,E^j\ ,\quad \vec{B}=\vec{n}\times\vec{E}\ .$$ (5.174)

Die Energiestromdichte $\vec{S}=\vec{E}\times\vec{B}/(4\pi)$ des Strahlungsfeldes zeigt in Richtung $\vec{n}$ von der Ursache weg: eine beschleunigte Ladung strahlt Energie ab. Allerdings strahlt Ladung nicht, die, gleichmäßig auf einen Kreis verteilt, ihn mit konstanter Winkelgeschwindigkeit durchläuft. Ein konstanter Kreisstrom erzeugt statische Felder.