Metrik

Das Längenquadrat von Tangentialvektoren am Punkt $x$ ist in der Allgemeinen Relativitätstheorie nicht durch (2.44), sondern allgemeiner durch

$$\frac{dx}{ds}\cdot\frac{dx}{ds}:= \frac{dx^m}{ds^{\phantom{m}}} \frac{dx^n}{ds^{\phantom{n}}}\,g_{mn}(x)$$ (6.1)

gegeben.^6.1Die Funktionen $g_{mn}(x)$ sind die Komponenten der Metrik

$$g_{mn}(x)=g_{nm}(x)\ ,$$ (6.2)

die wir als Skalarprodukt $g_{mn}=g(\partial_m, \partial_n)=\partial_m\!\cdot \partial_n$ der Tangentialvektoren $\partial_m$ an die Koordinatenlinien deuten können. Die Metrik einer gekrümmten Raumzeit ist $x$-abhängig. In der flachen Raumzeit der Speziellen Relativitätstheorie mit Längenquadrat (2.44) hat die Metrik in kartesischen Koordinaten die Form (4.99)

$$g_{\text{flach}}{}_{\,mn}=\eta_{mn}\ .$$ (6.3)

Auch in gekrümmten Räumen gibt es für jeden Punkt $x$, aber nicht für alle Punkte gemeinsam, Koordinatensysteme, so daß dort die Metrik mit der Metrik der flachen Raumzeit übereinstimmt $g_{mn}{}_{\vert _x}=\eta_{mn}$. Geometrische Eigenschaften kleiner Objekte, auf deren Abmessungen sich die Metrik nicht wesentlich ändert, und Abläufe von Ereignissen, während derer sich die Metrik nicht wesentlich ändert, stimmen daher in der Allgemeinen Relativitätstheorie und der Speziellen Relativitätstheorie überein. Insbesondere gelten in kleinen Raumzeitbereichen die geometrischen Konstruktionen, aus denen wir Zeitdehnung und Verkürzung bewegter Maßstäbe abgelesen haben und die darauf beruhen, daß Längenmessungen mit festen Meßlatten dieselben Werte ergeben wie Laufzeitmessungen mit Licht. Die Lichtgeschwindigkeit ist also in kleinen Raumzeitgebieten konstant. In größeren Raumzeitgebieten stehen keine starren Meßlatten zur Verfügung, Lichtstrahlen werden vom Gravitationsfeld schwerer Körper abgelenkt. Bei großen Abständen und über lange Zeiten werden Begriffe wie ,,konstante Lichtgeschwindigkeit`` , ,,gleichzeitige Ereignisse`` oder ,,räumlicher Abstand`` physikalisch unwichtig und unwirklich.