Geodätische Linien und Beschleunigung

Die Metrik der Raumzeit bestimmt den Gang von Uhren, die auf einer Weltlinie $\Gamma$, $\Gamma:\,s\mapsto x(s)$, Ereignisse $A=x(\underline{s})$ und $B=x(\overline{s})$ durchlaufen. Zwischen diesen Ereignissen vergeht auf einer idealen Uhr die Zeit

$$\tau({ B,A}\,; \Gamma)= \, \frac{1}{c} \int\limits_{\underline{s}... ...t{ \frac{dx^k}{ds^{\phantom{k}}} \frac{dx^l}{ds^{\phantom{l}}}g_{kl}(x(s)) }\ .$$ (6.4)

Freie Teilchen im Gravitationsfeld durchlaufen, wie wir in Abschnitt 7.3 ableiten, Weltlinien $\Gamma$, auf denen diese Zeit zwischen irgend zwei genügend benachbarten^6.2Ereignissen $A$ und $B$ größer als auf allen anderen Linien wird, die ebenfalls $A$ und $B$ verbinden. Diese Weltlinien heißen die zeitartig geodätischen Linien oder, weniger technisch, die zeitartigen Geraden der gekrümmten Raumzeit mit Metrik $g_{mn}$.

Für die Weltlinien $x(s)$ freier Teilchen im Gravitationsfeld gelten also die Euler-Lagrange-Gleichungen (4.33) mit der Lagrangefunktion (vergleiche mit (4.14))

$$\mathscr{L}(x,\dot{x})= -mc \sqrt{g_{kl}(x)\dot{x}^k \dot{x}^l}\ ,$$ (6.5)

wobei wir kurz $\dot{x}^k$ für $\frac{dx^k}{ds^{\phantom{k}}}$ schreiben. Die Eulerableitung (4.28) dieser Lagrangefunktion ist

$$\begin{aligned}&\frac{\hat{\partial}\sqrt{\vphantom{I^T}g_{kl}\... ...{ \sqrt{\vphantom{I^T}g_{tu}\Dot{x}^t\Dot{x}^u}}\ . \end{aligned}$$

Bezeichnen wir mit

$$u^n = \frac{\Dot{x}^n}{\sqrt{g_{kl}\Dot{x}^k\Dot{x}^l}}$$ (6.7)

den normierten Tangentialvektor und verwenden wir die Christoffelsymbole (C.106) als Abkürzung für die auftretenden partiellen Ableitungen der Metrik

$$\Gamma_{kl}{}^n=\frac{1}{2}g^{nm}\bigl ( \partial_k g_{ml}+\partial_l g_{mk}-\partial_m g_{kl} \bigr )\, ,\quad \Gamma_{kl}{}^n=\Gamma_{lk}{}^n\ ,$$ (6.8)

wobei $g^{nm}$ mit oberen Indizes die Komponenten der inversen Metrik (A.70) sind, so hat die Eulerableitung die Form

$$\frac{\hat{\partial}\sqrt{g_{kl}\Dot{x}^k\Dot{x}^{l}}}{\hat{\part... ...=-g_{mn}\bigl (\frac{d}{ds}u^n + \frac{dx^k}{ds} \Gamma_{kl}{}^n u^l \bigr )\ .$$ (6.9)

Die Euler-Lagrange-Gleichungen legen die Parametrisierung der Weltlinie nicht fest. Denn die Eigenzeit ist ein Funktional der Bahn, das nicht von der Parametrisierung abhängt (4.4). Ist $s(s^\prime)$ eine monotone, differenzierbare Funktion, so ist $x^{\prime\, m}(s^\prime)=x^m(s(s^\prime))$ wegen der Kettenregel $\frac{d}{ds^\prime}=\frac{ds}{ds^\prime}\frac{d}{ds}$ genau dann eine Lösung, wenn $x^m(s)$ die Gleichungen erfüllt.

Daher können wir als Parameter $s$ die Zeit wählen, die die mitgeführte Uhr bei $x(s)$ anzeigt. Dann hat der Tangentialvektor konstantes Längenquadrat $c^2$ (4.6)

$$g_{tu}\Dot{x}^t\Dot{x}^u=c^2\ ,$$ (6.10)

und die Eulerableitung vereinfacht sich.

$$c\frac{\hat{\partial}\sqrt{g_{kl}\Dot{x}^k\Dot{x}^{l}}}{\hat{\par... ...bigr . } =-g_{mn} \bigl ( \Ddot{x}^n +\Gamma_{kl}{}^n\Dot{x}^k\Dot{x}^l \bigr )$$ (6.11)

Ist der Bahnparameter $s$ die Eigenzeit, so ist der Vektor

$$b^n=\Ddot{x}^n +\Gamma_{kl}{}^n\Dot{x}^k\Dot{x}^l$$ (6.12)

die Beschleunigung längs einer Weltlinie $x^m(s)$. Frei fallende Teilchen sind per Definition unbeschleunigt. Ihre Weltlinien machen die zu (6.5) gehörige Wirkung extremal und erfüllen in der Parametrisierung (6.10) die Geodätengleichung (C.114)

$$\Ddot{x}^n +\Gamma_{kl}{}^n\Dot{x}^k\Dot{x}^l=0\ .$$ (6.13)

Dabei braucht $g_{mn}\Dot{x}^m\Dot{x}^n=c^2$ nur anfänglich gefordert werden. Längs einer geodätischen Linie ändert sich das Längenquadrat des Tangentialvektors nicht

$$\frac{d}{ds}\bigl (g_{mn}\Dot{x}^m\Dot{x}^n\bigr )=2\Ddot{x}^n\Do... ...{mn}+ \Dot{x}^m\Dot{x}^n\Dot{x}^k\partial_k g_{mn}= 2 b^n\Dot{x}^m g_{mn}= 0\ .$$ (6.14)

Ist eine Weltlinie durch ihre Eigenzeit parametrisiert, so hat ihr Tangentialvektor konstantes Längenquadrat und ist senkrecht zur Beschleunigung $b^n$. Sie hat daher für einen Beobachter, der die Weltlinie durchläuft, nur räumliche Komponenten.