Effektives Gravitationspotential

Gravitation beeinflußt freie Teilchen dadurch, daß die Metrik $g_{mn}$ nicht mehr die flache Metrik $\eta_{mn}$ (4.99) ist, sondern eine Lösung der Einsteingleichungen. Die Einsteingleichungen beschreiben den Einfluß von Energie- und Impulsstromdichten auf die Metrik. Wir diskutieren sie später in Abschnitt 8.1 und verwenden hier das Ergebnis (8.37) von Abschnitt 8.4, nämlich die Schwarzschildlösung der Einsteingleichungen. Diese Lösung beschreibt die Gravitation außerhalb einer kugelsymmetrischen Massenverteilung.

In der Schwarzschildmetrik hat das Längenquadrat für verschwindende kosmologische Konstante außerhalb der Zentralmasse in Kugelkoordinaten $(x^0,x^1,x^2,x^3)=(ct,r,\theta,\varphi)$ die Form

$$g_{kl}(x) \dot{x}^k \dot{x}^l = c^2 (1-\frac{r_0}{r})\,\dot{t}^2 ... ...2}{(1-\frac{r_0}{r})} -r^2 \dot{\theta}^2 -r^2\sin^2\theta\, \dot{\varphi}^2\ .$$ (6.15)

Der Parameter $r_0$ heißt Schwarzschildradius. Er ergibt sich als Integrationskonstante der Einsteingleichungen und wird in Gleichung (6.23) mit der Masse, die das Gravitationsfeld erzeugt, identifiziert. Ist die Zentralmasse so komprimiert, daß sie sich vollständig im Inneren des Schwarzschildradius befindet, so kann sie, wie wir in Abschnitt 8.5 sehen werden, kein Licht nach außen abstrahlen. Sie ist also schwarz und heißt Schwarzes Loch.^6.3

Die Geodätengleichung der Schwarzschildmetrik ist lösbar, weil die Bahnen freier Teilchen aus den Erhaltungssätzen konstruiert werden können.

Die Wirkung $W[\Gamma]=-mc^2\tau(\Gamma)$, $\Gamma:s\mapsto x(s)$,

$$W [\Gamma] = -mc \int\! ds \sqrt{ c^2 (1-\frac{r_0}{r})\,\dot{t}^... ...}^2}/{(1-\frac{r_0}{r})} -r^2\dot{\theta}^2 -r^2\sin^2\theta\, \dot{\varphi}^2}$$ (6.16)

legt die Parametrisierung der Weltlinie $\Gamma$ nicht fest (4.4). Wir wählen den Bahnparameter $s$ so, daß der Tangentialvektor $\dot{x}=\frac{dx}{ds}$ überall längs der Bahn dieselbe Länge $c$ hat.

$$c^2(1-\frac{r_0}{r})\, \dot{t}^2 -\frac{\dot{r}^2}{(1-\frac{r_0}{r})} -r^2\dot{\theta}^2 -r^2\sin^2\theta\, \dot{\varphi}^2 =c^2$$ (6.17)

Dann ist der Bahnparameter $s$ die Zeit $\tau$, die eine mitgeführte Uhr anzeigt.

Die Metrik ist drehinvariant. Das zeigt sich in Kugelkoordinaten daran, daß die $\dot{\theta}$- und $\dot{\varphi}$-Abhängigkeit des Längenquadrats $r^2\bigl (\dot{\theta}^2 +\sin^2\theta\, \dot{\varphi}^2\bigr )$ genauso ist wie im flachen Raum auf der Kugeloberfläche in Kugelkoordinaten und daran, daß die übrigen Terme im Längenquadrat nicht von $\theta$ und $\varphi$ abhängen. Wegen der Drehinvarianz der Wirkung (6.16) ist nach Noethertheorem der Drehimpuls $\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}$ erhalten. Da das Kreuzprodukt senkrecht auf seinen Faktoren steht, also $\vec{r}\cdot\vec{L}=0$ gilt, und da $\vec{L}$ konstant ist, liegt $\vec{r}$ immer in der Ebene, auf der $\vec{L}$ senkrecht steht. Die Bahnkurve ist also eben. In Kugelkoordinaten heißt dies, daß die Bewegung nach Wahl der Koordinatenachsen in der $x$-$y$-Ebene verläuft, also mit zeitlich konstantem

$$\theta=\frac{\pi}{2}\ .$$ (6.18)

Es sind mit der Eigenschaft, daß die Bahnkurve eben ist, noch nicht alle Konsequenzen der Drehinvarianz ausgewertet; ebene Bahnen würden schon aus konstanter Richtung des Drehimpulses folgen. Daß auch der Betrag des Drehimpulses erhalten ist, zeigt sich daran, daß die Wirkung (6.16) invariant unter Translationen von $\varphi$ ist. Der Winkel $\varphi$ ist eine zyklische Variable. Der zu $\varphi$ konjugierte Impuls $\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\varphi}}$, der Drehimpuls $L$ in $z$-Richtung, ist zeitlich konstant (4.55) und hat bei unserer Wahl des Bahnparameters (6.17) den Wert

$$L=m r^2 \dot{\varphi}\ .$$ (6.19)

Die Wirkung (6.16) ist nicht nur drehinvariant, sondern die Lagrangefunktion hängt auch nicht von der Zeit $t$ ab, es ist also auch $t$ eine zyklische Variable, und das Negative des dazu konjugierten Impulses ist erhalten

$$E=m c^2\bigl ( 1-\frac{r_0}{r}\bigr )\,\dot{t}\ .$$ (6.20)

Die zu Zeittranslationen gehörige Erhaltungsgröße ist definitionsgemäß die Energie $E$.

Setzen wir (6.18), (6.19) und (6.20) in (6.17) ein und multiplizieren wir mit $-\frac{m}{2}(1-\frac{r_0}{r})$, so erhalten wir einen Energiesatz (4.60) für die Bewegung der Radialkoordinate $r$

$$\frac{1}{2}m \dot{r}^2 -\frac{mr_0c^2}{2r} + \frac{L^2}{2mr^2} - \frac{L^2r_0}{2mr^3} =\frac{E^2}{2mc^2}-\frac{mc^2}{2}\ .$$ (6.21)

Bis auf den $\frac{1}{r^3}$-Term im effektiven Potential, der die Drehimpulsbarriere $\frac{L^2}{2mr^2}$ der Newtonschen Physik in $\frac{L^2}{2mr^2}\bigl ( 1 - \frac{r_0}{r}\bigr )$ abändert, und bis auf die Benennung der Erhaltungsgröße, ist dies der Energiesatz (4.76) für die Radialbewegung eines Teilchens mit Masse $m$ im Newtonschen Gravitationspotential ^6.4einer Zentralmasse $M$

$$\frac{1}{2}m \dot{r}^2 -G\frac{mM}{r} + \frac{L^2}{2mr^2} =E_{\text{Newton}}\ .$$ (6.22)

Der Koeffizient $G= 6{,}67 \cdot 10^{-11}\frac{\text{m}^3}{\text{kg}\cdot \text{sec}^{2}}$ [1,30] ist die Gravitationskonstante.

Bei großem Abstand von der Zentralmasse wird der Term $- \frac{L^2r_0}{2mr^3}$ vernachlässigbar und die Bahnen in der Schwarzschildmetrik stimmen mit den Bahnen im Newtonschen Gravitationsfeld einer Zentralmasse $M$ überein, wenn wir den Schwarzschildradius als

$$r_0=\frac{2 G M}{c^2}$$ (6.23)

identifizieren. Da Massen positiv sind, ist auch der Schwarzschildradius $r_0$ positiv. Bei der Sonne beträgt er $r_{0}{}_{\vert _{\text{Sonne}}}=2{,}953 \cdot 10^{3}\text{m}$, bei der Erde $r_{0}{}_{\vert _{\text{Erde}}}=8{,}87 \cdot 10^{-3}\text{m}$ [1].

Der Energiesatz für die Radialbewegung im Gravitationsfeld einer Zentralmasse $M$ lautet nach Identifizierung des Schwarzschildradiusses in der Allgemeinen Relativitätstheorie

$$\frac{1}{2}m \dot{r}^2 -G\frac{mM}{r} + \frac{L^2}{2mr^2} - G\frac{L^2M}{mc^2\,r^3} =\frac{E^2}{2mc^2}-\frac{mc^2}{2}\ .$$ (6.24)