Periheldrehung

Wegen des zusätzlichen $\frac{1}{r^3}$-Terms ist die Gravitation in der Allgemeinen Relativitätstheorie stärker anziehend als die Newtonsche Gravitation. Die Bahnkurven der Planeten um die Sonne sind nur noch näherungsweise geschlossene Ellipsen $r(\varphi)=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\varphi}$ (4.81) mit großer Halbachse $a$ und Exzentrizität $e$, auf denen $r$ periodisch zwischen maximalem Abstand $r_1=a(1+e)$, dem Aphel, und minimalem Abstand $r_2=a(1-e)$, dem Perihel, hin und her pendelt. Es wird ein etwas größerer Winkel als $\delta \varphi = 2\pi$ von Perihel zu Perihel durchlaufen. Das Perihel verschiebt sich in Umlaufrichtung nach vorne.

Zur Berechnung der Periheldrehung [41] betrachten wir den Kehrwert der Radialkoordinate als Funktion von $\varphi$

$$u(\varphi)=\frac{r_0}{r(\varphi)}\ .$$ (6.25)

Für seine Ableitung gilt, falls $L\ne 0$ ist, wegen (6.19) und (6.21) und mit $c=1$

$$\frac{du}{d\varphi}=-\frac{r_0}{r^2}\frac{dr}{ds}(\frac{d\varphi}... ...\bigl (\frac{mr_0}{L}\bigr )^2 u+ (E^2 - m^2 )\bigl (\frac{r_0}{L}\bigr )^2}\ .$$ (6.26)

Das Vorzeichen vor der Wurzel ist je nach Bahnabschnitt zu nehmen, je nachdem, ob $r$ ab- oder zunimmt. Der Radikand ist ein Polynom $(u-u_1)(u-u_2)(u-u_3)$,

$$\begin{aligned}u_1+u_2+u_3&= 1\ ,\\ u_1u_2+u_1u_3+u_2u_3&=\bigl... ...2u_3&=-(E^2 - m^2 )\bigl (\frac{r_0}{L}\bigr )^2\ , \end{aligned}$$

dessen Nullstellen $0 < u_1<u_2<u_3$ für Umlaufbahnen positiv sind. Die Bahnen verlaufen zwischen $u_1$ und $u_2$, also zwischen einem maximalen und einem minimalen Abstand $r_{\text{min}}>0$. Nehmen wir den Kehrwert von (6.26), so erhalten wir die Ableitung der Umkehrfunktion $\varphi(u)$ und können integrieren (4.63)

$$\varphi(\hat{u})-\varphi(u_1)=\int_{u_1}^{\hat{u}}\! du\, \frac{d\varphi}{du}= \int_{u_1}^{\hat{u}}\!\frac{du}{\sqrt{(u-u_1)(u-u_2)(u-u_3)}}\ .$$ (6.28)

Insgesamt nimmt der Winkel $\varphi$ während der Bewegung zwischen maximalem über minimalen bis zu maximalem Wert von $r$, dem entspricht die kleinste Nullstelle $u_1$, um

$$\varphi_{_{\text{Umlauf}}}= 2\int_{u_1}^{u_2}\!\frac{du}{\sqrt{(u-u_1)(u-u_2)(u-u_3)}}$$ (6.29)

zu. Dieses Integral hat mit den Variablen $y=\sqrt{\frac{u-u_1}{u_2-u_1}}$ und $k^2=\frac{u_2-u_1}{u_3-u_1}$ die Form

$$\begin{aligned}\varphi_{_{\text{Umlauf}}}&=2\frac{2}{\sqrt{u_3-... ...t{u_3-u_1}}\frac{\pi}{2}(1+\frac{k^2}{4}+O(k^4))\ . \end{aligned}$$

Hier haben wir das Integral genähert, denn die minimalen und maximalen Abstände der Planeten von der Sonne sind in Einheiten des Schwarzschildradiusses der Sonne riesig und $u_1$ und $u_2$ daher klein. Wegen $u_3=1-u_1-u_2$ (6.27) gilt annähernd

$$k^2=\frac{u_2-u_1}{1-2u_1-u_2}\approx u_2-u_1\ ,\quad (u_3-u_1)^{-1/2}\approx 1+\frac{1}{2}(2u_1+u_2)\ .$$ (6.31)

In dieser Näherung wird der Umlaufwinkel

$$\varphi_{_{\text{Umlauf}}}\approx 2\pi(1+\frac{3}{4}(u_1+u_2))=2\... ...{3}{2}\pi\, (\frac{r_0}{r_1}+\frac{r_0}{r_2})\ , \quad r_0 = \frac{2MG}{c^2}\ .$$ (6.32)

Für die Keplerbahnen der Planeten sind die Kuben der großen Halbachsen proportional den Quadraten der Umlaufzeiten (4.84)

$$\frac{4\pi^2a^{3}}{T^2}= G\,M_ (\frac{M_\text{Sonne}}{M_\text{Sonne}+M_{\text{Planet}}})^2 \approx G\, M_{\text{Sonne}}$$ (6.33)

und minimaler und maximaler Abstand sind durch Größe der Halbachse $a$ und die Exzentrizität $e$ durch $r_1=a(1+e)$ und $r_2=a(1-e)$ gegeben. Das Perihel wandert daher pro Umlauf um

$$\varepsilon\approx \frac{24\pi^3a^2}{c^2T^2(1-e^2)}\ .$$ (6.34)

In dieser Form ist die Periheldrehung durch die astronomisch beobachtbaren Größen ausgedrückt. Der Effekt fällt mit dem Abstand der Planeten von der Sonne (6.32) und ist im Sonnensystem daher beim Merkur am größten. Durch Radarmessungen ist die Periheldrehung des Merkurs mit einer Genauigkeit von 1 bekannt. Nach Berücksichtigung der Störungen durch die anderen Planeten verbleibt pro Jahrhundert ein Rest von $42{,}98\arcsecond\pm 0{,}04\arcsecond$. Er stimmt mit der allgemein relativistischen Korrektur überein [5].