Ablenkung von Licht und schnellen Teilchen

Für elektromagnetische Wellen mit kurzer Wellenlänge

$$A_m(x)=\Re\, a_m(x,\varepsilon)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\theta(x)}{\varepsilon}}$$ (6.35)

folgt im Grenzfall $\varepsilon\rightarrow 0$ aus den Maxwell-Gleichungen (7.40), wie wir in Abschnitt 7.4 ableiten, daß in einer Raumzeit mit Metrik $g_{mn}(x)$ der Wellenvektor

$$k_m =\partial_m \theta$$ (6.36)

lichtartig ist

$$g^{mn} k_m k_n =0$$ (6.37)

und daß die Lichtstrahlen, die Weltlinien von Lichtpulsen in der Raumzeit, die durch

$$\dot{x}^m =g^{mn}k_n(x)$$ (6.38)

gegeben sind (7.60), gerade Weltlinien oder, technischer ausgedrückt, geodätische Linien sind. Dabei bezeichnet $\dot{x}^m= {dx^m}/{ds}$ die Ableitung nach dem Bahnparameter.

Lichtartige geodätische Linien, die Lichtstrahlen, lassen sich, wenn man skrupelhaft ist, nicht aus dem Wirkungsprinzip mit Lagrangefunktion (6.5) ableiten, denn das Längenquadrat des Tangentialvektors verschwindet und die Wurzel aus dem Längenquadrat ist bei Null nicht differenzierbar. Eine geeignete Lagrangefunktion für Lichtstrahlen ist das Längenquadrat des Tangentialvektors

$$\mathscr{L}(x,\dot{x})=\frac{1}{2}\,g_{kl}(x)\,\dot{x}^k\, \dot{x}^l\ .$$ (6.39)

Die zugehörigen physikalischen Bahnen sind geodätische Linien (C.114)

$$\frac{\hat{\partial}}{\hat{\partial}x^m}\bigl (\frac{1}{2}\,g_{kl... ...}^l}\bigr ) =-g_{mn}\bigl (\ddot{x}^n+\Gamma_{kl}{}^n\,\dot{x}^k\,\dot{x}^l)\ ,$$ (6.40)

wie man mit den gleichen Rechenschritten bestätigt, die zu (6.9) geführt haben.

Die Wirkung ist nicht invariant unter Reparametrisierungen $s(s^\prime)$ der Weltlinie. Lösungen der Bewegungsgleichungen gehen durch linear inhomogene Reparametrisierungen

$$s(s^\prime)=a s^\prime+s(0)$$ (6.41)

in Lösungen über. Zu der fehlenden Invarianz der Wirkung unter Reparametrisierungen paßt, daß der Lichtstrahl selbst nicht die Frequenz des Lichtes festlegt, das ihn durchläuft. Die Frequenz kommt der Parametrisierung des Lichtstrahls, genauer $k^0 = dx^0/ds$, zu.

Die Lichtstrahlen im metrischen Feld einer kugelsymmetrischen Masse (6.15) bestimmen wir aus den Erhaltungsgrößen.

Die Lagrangefunktion hängt nicht vom Bahnparameter $s$ ab und demnach ist die zur Translation des Bahnparameters gehörige Energie (4.57) erhalten. Diese Erhaltungsgröße stimmt mit dem Längenquadrat $\mathscr{L}$ überein, denn die Lagrangefunktion ist wie kinetische Energie quadratisch in den Ableitungen nach dem Bahnparameter. Da das Längenquadrat des Tangentialvektors an die Lichtbahnen verschwindet, hat diese Erhaltungsgröße den Wert Null

$$c^2 (1-\frac{r_0}{r})\, \dot{t}^2 -\frac{\dot{r}^2}{(1-\frac{r_0}{r})} -r^2\dot{\theta}^2 -r^2\sin^2\theta\, \dot{\varphi}^2 = 0\ .$$ (6.42)

Wie bei massiven Teilchen folgt aus der Drehinvarianz der Schwarzschildmetrik, daß jede Bahnkurve eben ist und nach Wahl der Koordinatenachsen in der $x$-$y$-Ebene verläuft

$$\theta=\frac{\pi}{2}\ , \quad \dot{\theta} =0 \ .$$ (6.43)

Der Winkel $\varphi$ ist wegen Drehinvarianz eine zyklische Variable (4.55), und der zu $\varphi$ konjugierte Impuls $L$, er ist bis auf einen Faktor die $z$-Komponente des Drehimpulses, ist konstant

$$L=-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\varphi}}=r^2 \dot{\varphi}\ .$$ (6.44)

Die Schwarzschildlösung ist statisch, die Lagrangefunktion hängt nicht von der Zeit $t$ ab. Also ist $t$ eine zyklische Variable (4.55), und der zu $t$ konjugierte Impuls ist auf der Weltlinie des Teilchens konstant. Er ist bis auf einen Faktor die Energie $E$

$$E=\bigl ( 1 - \frac{r_0}{r}\bigr ) c^2 \dot{t}\ .$$ (6.45)

Setzen wir in (6.42) ein und formen wir um, so erhalten wir effektiv einen Energiesatz für die eindimensionale Bewegung der Radialkoordinate

$$\frac{1}{2}\dot{r}^2 +\frac{L^2}{2 r^2}(1-\frac{r_0}{r})=\frac{E^2}{2c^2}\ .$$ (6.46)

Das effektive Potential besteht nur aus der relativistischen Drehimpulsbarriere

$$V_{\text{eff}}(r)=\frac{L^2}{2r^2}\bigl ( 1-\frac{r_0}{r}\bigr )\ .$$ (6.47)

Es wird extremal bei $r=\frac{3}{2}r_0$, läßt aber keine stabile, gebundene Bahn zu. Es fehlt nämlich, da das Längenquadrat lichtartiger Tangentialvektoren Null und nicht $c^2$ ist, der Kepler-Anteil $-{r_0c^2}/{r}$ im effektiven Potential. Für $r<\frac{3}{2}r_0$ wirkt die Drehimpulsbarriere anziehend.

Für die Ableitung von $u(\varphi)={r_0}/{r(\varphi)}$ (6.25) besagt (6.46) mit $c=1$

$$\bigl (\frac{du}{d\varphi}\bigr )^2= u^3-u^2+(\frac{Er_0}{L})^2=(u-u_1)(u-u_2)(u-u_3)\ .$$ (6.48)

Dies ist der Spezialfall $m=0$ der Gleichung (6.26), mit der wir nun für $E^2> m^2$ die Ablenkung von Licht und von schnellen, massiven Teilchen gemeinsam untersuchen.

Das kubische Polynom hat drei reellen Nullstellen, $u_1<u_2<u_3$, falls der Drehimpuls genügend groß ist, $4L^2 > 27 E^2 r_0^2$, und das Teilchen nicht in das Zentrum stürzt. Eine von ihnen, $u_1$, ist für $E^2> m^2$ negativ. Denn das Produkt der Nullstellen ist negativ und ihre Summe positiv (6.27).

Auf ihrer Bahn durchlaufen Teilchen, die abgelenkt werden, $r$-Werte von $r=\infty$ über den Minimalabstand $r_{\text{min}}$ zu $r=\infty$, also $u$-Werte von $u=0$ zu $u_2={r_0}/{r_{\text{min}}}$ und zurück zu $u=0$. Dabei nimmt der Winkel $\varphi$ um $\delta \varphi$ zu,

$$\delta\varphi= 2\int_0^{u_2}\!\! du\, \frac{d\varphi}{du} = 2\int_0^{u_2}\! \frac{du}{\sqrt{(u-u_1)(u-u_2)(u-u_3)}}\ .$$ (6.49)

Skalieren wir die Integrationsvariable, $y={u}/{u_2}$, so ist dieser Winkel

$$\delta\varphi=2\int_0^1\frac{dy}{\sqrt{(y-\frac{u_1}{u_2})(y-1)(u_2y-u_3)}}\ .$$ (6.50)

Hier sind wegen (6.27) $u_3$ und $u_1$ Funktionen von $u_2$ und $mr_0/L$,

$$u_3=1-(u_1+u_2)\, ,\quad u_1=\frac{1-u_2}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{1+2u_2-3u_2{}^2-4(\frac{mr_0}{L})^2}\ .$$ (6.51)

Das Verhältnis $u_2=r_0/r_{\text{min}}$ von Schwarzschildradius zum Minimalabstand vom Sonnenmittelpunkt ist für Bahnen, die an der Sonne vorbei laufen, klein. Zudem gilt für schnelle Teilchen bis auf Terme höherer Ordnung in $u_2$ und $m^2/E^2$

$$\frac{mr_0}{L} \approx u_2\frac{m}{E}\ .$$ (6.52)

Denn bei $r=r_{\text{min}}$ ist $L/m=r_{\text{min}}{}^2 \dot{\varphi}\,$, $\dot{r}=0$ und

$$r_{\text{min}}{}^2\dot{\varphi}^2=\bigl(1-\frac{r_0}{r_{\text{min... ...-1 = \frac{E^2}{m^2(1-\frac{r_0}{r_{\text{min}}})}-1 \approx \frac{E^2}{m^2}\ ,$$ (6.53)

also gilt $L/m\approx r_{\text{min}}E/m$. Damit erhalten wir näherungsweise

$$\frac{u_1}{u_2} \approx -1+u_2(1+ m^2/E^2)\ ,\quad u_3\approx 1\ ,$$ (6.54)

$$\delta\varphi\approx 2\int_0^1\frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}(1+\frac{u_2}{2}y+\frac{u_2}{2}\frac{1+\frac{m^2}{E^2}}{1+y})\ ,$$ (6.55)

und können mit ${1}/({\sqrt{1-y^2}(1+y)})=-\frac{d}{dy}({\sqrt{1-y^2}}/{(1+y)})$ integrieren

$$\delta\varphi\approx {\pi}+{u_2}\,(2+\frac{m^2}{E^2})= \pi + \frac{r_0}{r_{\text{min}}}\,(2 + \frac{m^2}{E^2})\ .$$ (6.56)

Ein Lichtstrahl mit $m=0$ durchläuft also nicht den Winkel $\pi$ wie im flachen Raum mit $r_0=0$, sondern wird um

$$\delta\varphi-\pi\approx \frac{4GM}{r_{\text{min}}c^2}$$ (6.57)

abgelenkt. Die Lichtablenkung ist umso größer, je näher der Lichtstrahl an der Sonne vorbeiläuft. Streift der Lichtstrahl den Sonnenrand, so ist $r_{\text{min}}=r_{\text{Sonne}}=6{,}953\cdot 10^8 \metre$ und Lichtstrahlen werden um $8{,}49\cdot 10^{-6}=1{,}75\arcsecond$ abgelenkt. Bei Sonnenfinsternissen erscheinen Sterne am Sonnenrand um diesen Winkel von der Sonne weg verschoben.

Mit dem ESA Satelliten Hipparcos wurden zwischen 1989 und 1993 die Positionen von etwa 100 000 Sternen jeweils etwa 100 Mal vermessen. Dabei variierte der Winkel zur Sonne zwischen $47$ und $133$. Die gemessenen Sternenpositionen stimmen nach Berücksichtigung der Bewegung der Sonne, der Sterne, der Erde und des Satelliten mit gravitativer Lichtablenkung durch die Sonne, wie sie die Allgemeine Relativitätstheorie vorhersagt, innerhalb der Meßgenauigkeit von 3 überein [42]. Zum Beispiel ist Licht, das bei uns im rechten Winkel zur Sonne einfällt, um $4 \cdot 10^{-3}{}\, \arcsecond$ gravitativ abgelenkt.

In Newtonscher Mechanik würde ein lichtschnelles Teilchen mit Energie $E= m/2$ im Keplerpotential um $\delta \varphi = 2 \arcsin (1/\sqrt{1+2EL^2/(m\alpha^2)})= 2 \arcsin (1/\sqrt{1+L^2/\alpha^2})$ abgelenkt (Seite ). Da die Energie konstant ist, gilt $L^2/(2m r_{\text{min}}^2) - \alpha/r_{\text{min}} = m/2$, also $L^2=m^2r_{\text{min}}^2 + 2 \alpha m r_{\text{min}}=m^2r_{\text{min}}(r_{\text{min}}+r_0) \approx m^2 r_{\text{min}}^2$. Also ist $L/\alpha\approx 2r_{\text{min}}/r_0$ groß und demnach der Ablenkwinkel $\delta \varphi \approx 2 \alpha/L=r_0/r_{\text{min}}$. Dies ist nur die Hälfte der Lichtablenkung der Allgemeinen Relativitätstheorie und experimentell widerlegt.

Auch wenn ein schnelles, massives Testteilchen im System des Gravitationszentrums nur wenig abgelenkt wird, so kann sich in dem System, in dem das Testteilchen zunächst ruht, eine schnell bewegte, schwere Masse stark auswirken. Im System der schweren Masse ist die Vierergeschwindigkeit des Teilchens vor der Wechselwirkung $(1,v,0,0)/\sqrt{1-v^2}$ und hinterher $(1,Cv,Sv,0)/\sqrt{1-v^2}$, wobei $C = \cos \delta\varphi\approx 1 - 2(r_0/r_{\text{min}})^2$ und $S=\sin\delta\varphi\approx 2r_0/r_{\text{min}}$ sind. Die Vierergeschwindigkeit in dem System, in dem das Teilchen zunächst ruht, erhält man daraus durch die Lorentztransformation (3.9). Vor der Streuung ist sie $(1,0,0,0)$ - das Teilchen ruht - und nachher

$$\begin{aligned}\bigl (\frac{1-Cv^2}{1-v^2}&, -\frac{(C-1)v}{1-v... ...sqrt{1-v^2}}\frac{r_0}{r_{\text{min}}},0 \Bigr )\ . \end{aligned}$$