Fermatsches Prinzip, Brechungsindex

Lichtstrahlen, die Weltlinien, die von Lichtpulsen durchlaufen werden, genügen dem Fermatschen Prinzip der frühesten Ankunft [47]. Von allen lichtartigen, zukunftsgerichteten Weltlinien, die ein Ereignis $p$ durchlaufen und danach eine genügend benachbarte, zeitartige Weltlinie $\Gamma$ schneiden, kreuzt der Lichtstrahl die Weltlinie $\Gamma$ am frühesten.

Wir zeigen das Fermatsche Prinzip zunächst für den Fall, daß die Metrik und die Lagrangefunktion von Lichtstrahlen (6.39) folgende Summe

$$\tilde{g}_{mn} dx^m dx^n = (dt)^2 + \tilde{g}_{ij}dx^i dx^j\ ,\ \... ...(\vec{x},\dot{\vec{x}}) = \frac{1}{2}\,\tilde{g}_{ij}\,\dot{x}^i\, \dot{x}^j\ ,$$ (6.59)

ist, wobei $\tilde{g}_{ij}$, $i,j\in\{1,2,3\}$, nicht von $t$ abhängt. Dann entkoppeln die Geodätengleichungen für $t(s)$ und den räumlichen Teil $\vec{x}(s)$. Er ist eine geodätische Linie der räumlichen, zeitunabhängigen Metrik $\tilde{g}_{ij}$ und macht die Wirkung

$$W[\vec{x}]= \int\! ds\, \sqrt{-\tilde{g}_{ij}\dot{x}^i\dot{x}^j}$$ (6.60)

stationär. Auf lichtartigen, zukunftsgerichteten Weltlinien gelten $\dot{t}^2 + \tilde{g}_{ij}\dot{x}^i\dot{x}^j=0$ und $\dot{t}>0$, also

$$\dot{t}=\sqrt{-\tilde{g}_{ij}\dot{x}^i\dot{x}^j}\ .$$ (6.61)

Demnach ist für lichtartige Weltlinien die Wirkung $W[\vec{x}]=\int_{\underline{s}}^{\overline{s}}\! ds\, \dot{t} = t(\overline{s})-t(\underline{s})$ die Differenz der Koordinatenzeiten, die zwischen Start $\vec{x}(\underline{s})$ und Ziel $\vec{x}(\overline{s})$ vergeht. In der Metrik (6.59) durchläuft bei gleicher Startzeit $t(\underline{s})$ von allen lichtartigen Weltlinien die geodätische Linie diejenige Bahn vom Start zum Ziel, die am frühesten eintrifft.

Das Argument gilt auch bei konform statischen Metriken,

$$g_{mn}dx^mdx^n=\Omega^2 \bigl ((dt)^2 + \tilde{g}_{ij}dx^i dx^j\bigr )\ ,\quad \Omega^2\ne 0\ ,$$ (6.62)

die bis auf einen konformen Faktor $\Omega^2(x)$ mit der Metrik (6.59) übereinstimmen, weil bei konform verwandten Metriken, $\tilde{g}_{mn}$ und $g_{mn}=\Omega^2\tilde{g}_{mn}$, die Lichtkegel gleich sind und sich Lichtstrahlen nur durch ihre Parametrisierung unterscheiden.

Dies wiederum gilt, weil das Christoffelsymbol $\Gamma_{kl}{}^m$ von $g_{mn}=\Omega^2\tilde{g}_{mn}$ durch

$$\Gamma_{kl}{}^m=\tilde{\Gamma}_{kl}{}^m + \Omega^{-1}(\partial_k\... ...a\delta_l{}^m + \partial_l\Omega\delta_k{}^m - g_{kl} g^{mn}\partial_n \Omega )$$ (6.63)

mit dem Christoffelsymbol $\tilde{\Gamma}_{kl}{}^m$ von $\tilde{g}_{mn}$ zusammenhängt. Für den Lichtstrahl folgt

$$\frac{d^2 x^m}{d{s}^2}+ \frac{dx^k}{d{s}}\frac{dx^l}{d{s}}{\Gamma... ...s}} - \Omega^{-1}\frac{dx}{d{s}}\cdot \frac{dx}{d{s}}g^{mn}\partial_n \Omega\ ,$$ (6.64)

wobei wir $\Omega(x({s}))$ als Funktion des Bahnparameters ${s}$ auffassen. Der letzte Term verschwindet, weil ${dx}/{d{s}}$ lichtartig ist. Der vorletzte Term ist ein Vielfaches des Tangentialvektors und kann durch eine Reparametrisierung absorbiert werden: lesen wir die Ableitungen als Ableitungen von $x^m(\tilde{s}({s}))$, so haben die Terme die Form

$$\bigl(\frac{d\tilde{s}}{d{s}}\bigr)^2\bigl ( \frac{d^2 x^m}{d\til... ...e{s}}{d{s}} + \frac{d^2\!\, \tilde{s}}{d{s}^2}\bigr )\frac{dx^m}{d\tilde{s}}\ .$$ (6.65)

Die letzte Klammer verschwindet, wenn der Bahnparameter $\tilde{s}(s)$ als

$$\tilde{s}(s)=\int^{s}\!ds^\prime\, \Omega^{-2}(s^\prime)$$ (6.66)

gewählt wird. Gilt also die Geodätengleichung für Lichtstrahlen $x(\tilde{s}(s))$ bezüglich der Metrik $g_{mn}$, so erfüllt $x(\tilde{s})$ sie für die Metrik $\tilde{g}_{mn}$.

Folglich genügen Lichtstrahlen in jeder konform statischen Metrik, zum Beispiel in der Schwarzschildmetrik, dem Fermatschen Prinzip.

Jede kugelsymmetrische, dreidimensionale Metrik $\tilde{g}_{ij}$ (F.21) ist in geeigneten Koordinaten, den isotropen Koordinaten, bis auf einen konformen Faktor $n^2$ euklidisch

$$a^2(r)\, (dr)^2 + b^2(r)\,\bigl ((d\theta)^2 + \sin^2\theta (d\va... ...(d\tilde{r})^2 + \tilde{r}^2((d\theta)^2 + \sin^2\theta (d\varphi)^2)\bigr )\ ,$$ (6.67)

$$\tilde{r}(r)=\exp \int^r\!dr' a(r')/b(r')\ ,$$ (6.68)

wie man einfach mit $n = b/\tilde{r}$ und $d\tilde{r}/dr = \tilde{r}\, a(r)/b(r)$ bestätigt. Bei einer konform statischen, kugelsymmetrischen Metrik (6.62) ist $1/n$ die Lichtgeschwindigkeit

$$0=\frac{dt}{ds}\frac{dt}{ds} -n^2\, \frac{d\vec{x}}{ds}\cdot\frac... ...dot\frac{d\vec{x}}{dt}) \ ,\quad \vert\frac{d\vec{x}}{dt}\vert = \frac{1}{n}\ .$$ (6.69)

Solch eine Metrik wirkt sich auf die Bahnen von Licht so aus wie im flachen Raum ein optisches Medium mit Brechungsindex ${n}(\vec{x})$ und Wirkung $W[\vec{x}]=\int\! dt\,n(\vec{x})\,({\dot{\vec{x}}\cdot \dot{\vec{x}}})^{1/2}$.

Für die Schwarzschildmetrik (6.15) ergibt sich

$$\frac{a}{b}= \sqrt{\frac{g_{rr}}{g_{\theta\theta}}}=\frac{1}{\sqrt{r(r-r_0)}}\ ,$$ (6.70)

$$\ln \tilde{r} + k = \int^r\! \frac{dr'}{\sqrt{r'(r'-r_0)}}= 2 \ln(\sqrt{r}+\sqrt{r-r_0}) = \ln(2\sqrt{r(r-r_0)}+2r-r_0)\ .$$ (6.71)

Wir wählen die Integrationskonstante $k=\ln 4$ so, daß $\tilde{r}$ mit $r$ für große $r$ übereinstimmt,

$$\tilde{r}= \frac{r}{2}-\frac{r_0}{4} + \frac{1}{2}\sqrt{r(r-r_0)}\ .$$ (6.72)

Dann gilt umgekehrt $(2\tilde{r}+r_0/2)^2= 4 r \tilde{r}$ oder

$$r = \tilde{r}(1+\frac{r_0}{4\tilde{r}})^2\ ,$$ (6.73)

und die Schwarzschildmetrik hat in diesen isotropen Kugelkoordinaten die Form

$$g_{mn}{dx^m}{dx^n}= \Bigl (\,\frac{\displaystyle1-\frac{r_0}{4\ti... ...lde{r}^2 ( {d\theta} )^2 + \tilde{r}^2 \sin^2 \theta ({d\varphi} )^2 \bigr )\ .$$ (6.74)

Die Gravitation der Zentralmasse wirkt sich in diesen Koordinaten auf die Bahnen von Licht so aus wie im flachen Raum ein Medium mit Brechungsindex $n=\sqrt{-g_{\tilde{r}\tilde{r}}/g_{00}}$,

$$n = (1+\frac{r_0}{4\tilde{r}})^3 (1 - \frac{r_0}{4\tilde{r}})^{-1}\ .$$ (6.75)