Gravitative Rotverschiebung

Auch ein konformer Faktor $\Omega^2$, $g_{mn}=\Omega^2\tilde{g}_{mn}$, wirkt sich auf Licht aus. Er beeinflußt zwar nicht die Bahnen von Licht, wohl aber die Farbe, mit der ein Beobachter $\mathcal B$ am Ort $\vec{x}_{\mathcal B}$ eine Uhr bei $\vec{x}_{\mathcal U}$ sieht.

Wenn die Uhr in einer konform statischen Raumzeit (6.62) ruht, vergeht auf ihr zwischen zwei benachbarten Ereignissen $x_{\mathcal U}=(\underline{t},\vec{x}_{\mathcal U})$ und $(\underline{t}+dt,\vec{x}_{\mathcal U})$ die Zeit (6.4)

$$\tau_{\mathcal{U}}=\sqrt{g_{00}({x}_{\mathcal{U}})}\, dt\ .$$ (6.76)

Das Licht, das von diesen Ereignissen zu einem ruhenden Beobachter ausgesendet wird, erreicht ihn bei $(\overline{t},\vec{x}_{\mathcal B})$ und $(\overline{t} + dt,\vec{x}_{\mathcal B})$ mit derselben Koordinatendifferenz $dt$.

Denn die Lichtstrahlen hängen nicht vom konformen Faktor $\Omega^2$ ab (Seite ) und stimmen mit den Lichtstrahlen überein, die zur Lagrangefunktion $\mathscr{L}=\mathscr{L}_1+\mathscr{L}_2$ (6.59) gehören. Dort entkoppeln die Bewegungsgleichungen für $t(s)$ und $\vec{x}(s)$. Die Zeitkoordinate löst $\ddot{t}=0$ und ist eine linear inhomogene Funktion $t(s)=a\, s + t(0)$ des Bahnparameters. Bei versetzter Startzeit $t(0)=\underline{t}+dt$ trifft der räumlich unveränderte Lichtstrahl

Abbildung 6.1: gravitative Zeitdehnung

um $dt$ später bei $\mathcal B$ ein.

Der Beobachter sieht daher die Uhr mit derselben Koordinatendifferenz $dt$ ticken, während die Zeit

$$\tau_{\mathcal{B}}=\sqrt{{g_{00}(x_{\mathcal{B}})}/{g_{00}(x_{\mathcal{U}})}}\, \tau_{\mathcal{U}}$$ (6.77)

auf seiner eigenen Uhr abläuft.

Ruht die Uhr in der Schwarzschildmetrik $g_{00}(x)=1-{r_0}/{r}$ an einem tieferen Ort, so ist $g_{00}(x_{\mathcal{U}})<g_{00}(x_{\mathcal{B}})$ und die Zeitdifferenz $\tau_{\mathcal{B}}$ ist größer als $\tau_{\mathcal{U}}$. Die Uhr, die der Beobachter im tieferen Gravitationspotential ruhen sieht, erscheint ihm also nicht nur perspektivisch kleiner, sondern auch langsamer als seine eigene Uhr. Geht der Beobachter zu der entfernten Uhr hin, so stellt er fest, daß sie normal geht und normale Größe hat. An Ort und Stelle laufen physikalische Vorgänge normal ab.

Schwingt ein bei $\vec{x}_\mathcal{U}$ ruhender Sender mit der Frequenz $\nu_{\mathcal{U}}=n/\tau_{\mathcal{U}}$, so beobachtet $\mathcal{B}$ diese $n$ Schwingungen, während bei ihm die Zeit $\tau_{\mathcal{B}}$ vergeht. Er nimmt die Frequenzen von Quellen, die tiefer im Gravitationspotential ruhen, rotverschoben und elektromagnetische Wellenlängen $\lambda_{\mathcal{B}}=c/\nu_{\mathcal{B}}$ um einen Faktor $1+z$ vergrößert wahr,

$$\nu_{\mathcal{B}}=\sqrt{{g_{00}(x_{\mathcal{U}})}/{g_{00}(x_{\mat... ...cal{U}}}= \sqrt{{g_{00}(x_{\mathcal{B}})}/{g_{00}(\vec{x}_{\mathcal{U}})}}-1\ .$$ (6.78)

Ist die Metrik nicht konform statisch, so ist es normalerweise nicht möglich, in der gekrümmten Raumzeit willkürfrei eine Klasse von ruhenden Beobachtern anzugeben. Dann läßt sich gravitative Zeitdehnung nicht ohne weiteres vom Dopplereffekt trennen, bei dem eine Relativbewegung von Quelle und Empfänger die Rotverschiebung verursacht.