Senkrechter Fall ins Schwarze Loch

Beim senkrechten Fall verschwindet der Drehimpuls $L$, und der Energiesatz (6.21) lautet wie im nichtrelativistischen Fall (4.85)

$$\bigl( \frac{dr}{ds}\bigr)^2 - \frac{r_0}{r}=-\frac{r_0}{R}\ .$$ (6.79)

Dabei drücken wir die Konstante $(E/m)^2-1$ durch den Wert der linken Seite auf der Gipfelhöhe $R$ aus, wo $dr/ds$ verschwindet. Die Lösung dieser Gleichung ist (4.88)

$$s(r) = s(0) + \sqrt{\frac{R^3}{r_0}} \bigl ( \sqrt{\frac{r}{r_0}}\sqrt{1-\frac{r}{R}}- \arctan \frac{r}{R-r} \bigr )\ .$$ (6.80)

Der Fall bis zum Schwarzschildradius dauert die endliche Eigenzeit $s(r_0)-s(R)$.

Dort beträgt $dr/ds=-\sqrt{1-r_0/R}$ (6.79). Wählen wir einfachheitshalber den Nullpunkt der Eigenzeit so, daß $r_0$ zur Eigenzeit $s(r_0)=0$ durchlaufen wird, so verhält sich $r(s)$ dort bis auf höhere Potenzen von $s$ wie

$$r=r_0 - \sqrt{1-\frac{r_0}{R}}\, s\ .$$ (6.81)

Die Eigenzeit $s$ hängt für $r>r_0$, das heißt $s<0$, mit der Koordinatenzeit $t$ durch (6.20) zusammen

$$(1-\frac{r_0}{r})\frac{dt}{ds}= \sqrt{1-\frac{r_0}{R}}\ ,$$ (6.82)

wobei wir die Konstante $E/m$ durch die Gipfelhöhe $R$ ausdrücken. Beim Schwarzschildradius gilt daher bis auf höhere Potenzen von $s$ für negative $s$

$$\frac{ds}{dt}=\bigl (1-\frac{r_0}{R}\bigr)^{-\frac{1}{2}}\bigl(1-... ...bigr ) \sim - \frac{s}{r_0}\ ,\quad s(t)\propto -\mathrm{e}^{-\frac{t}{r_0}}\ ,$$ (6.83)

und umgekehrt $t/r_0=-\ln(-s) +$   konst. Insbesondere erreicht das fallende Teilchen den Schwarzschildradius nicht zu endlicher Koordinatenzeit.

Das liegt, wie wir bei Raumzeitdiagramm 8.1 diskutieren, daran, daß die Koordinaten $t$ und $r$ am Schwarzschildradius $r_0$ ungeeignet sind. Es besagt nicht, daß das fallende Teilchen nicht $r_0$ durchfällt, und auch nicht, daß es unendlich lange für einen bei $r_{\mathcal{B}}>r_0$ ruhenden Beobachter sichtbar ist.

Seine Uhr zeigt die Eigenzeit $d\tau =\sqrt{1-{r_0}/{r_{\mathcal{B}}}}\,dt$. Wenn das Teilchen mit einer konstanten Rate $dn/ds$ Photonen aussendet, so verhält sich diese Rate, bezogen auf die Uhr des Beobachters, wegen $dn/d\tau=dn/ds \cdot ds/dt\cdot dt/d\tau$ wie $ds/dt$ und nimmt, wenn das Teilchen dicht über dem Schwarzschildradius ist, exponentiell ab

$$\frac{dn}{d\tau}\propto \mathrm{e}^{-\frac{\tau}{r_0 \sqrt{1-{r_0}/{r_{\mathcal{B}}}}}}\ .$$ (6.84)

Genau so wie $dn/dt$ nimmt die Frequenz $\nu_{ \mathcal{B}}$ der beobachteten Photonen, die beobachtete Zahl von Schwingungen pro Zeiteinheit, exponentiell ab, $\nu_{ \mathcal{B}}\propto \mathrm{e}^{-{t}/{r_0}}$. Die Rotverschiebung des Lichts von fallenden Teilchen ist größer als von ruhenden Teilchen (6.78).

Der radiale Maßstab des Beobachters zeigt Längen $dl = dr/ \sqrt{1-{r_0}/{r_{\mathcal{B}}}}$. Wenn das Teilchen am Beobachter vorbeifällt, hat es für ihn eine Geschwindigkeit mit Betrag

$$v=\left \vert\frac{dl}{d\tau}\right \vert= \frac{dl}{dr}\left \ve... ...rac{r_0}{R}\bigr )^{\frac{1}{2}} \bigl(1-\frac{r_0}{R}\bigr )^{-\frac{1}{2}}\ .$$ (6.85)

Sie ist umso größer, je näher der Beobachter dem Schwarzen Loch ist, und geht für $r_{\mathcal{B}}\rightarrow r_0$ gegen die Lichtgeschwindigkeit $c=1$.

Strahlt das Teilchen gleichstark in alle Richtungen, so bewirkt Aberration den Scheinwerfereffekt, daß dieses Licht für den Beobachter mehr in Bewegungsrichtung des Teilchens ausläuft und, wenn er das Teilchen unter sich sieht, auf ein um $\frac{1+v}{1-v}$ vergrößertes Flächenelement verteilt wird. Diese Strahlauffächerung verringert die gesehene Leuchtstärke des Teilchens für einen Beobachter in der Fallinie um einen Faktor, der proportional zu $s(t)\propto -\mathrm{e}^{-{t}/{r_0}}$ ist, wenn das Teilchen den Schwarzschildradius durchfällt.

Durch Dopplereffekt, Rotverschiebung und Aberration nimmt also die beobachtete Leuchtstärke beim Fall durch den Horizont mit $\mathrm{e}^{-{3t}/{r_0}}$ ab. Sie wird zwar nie Null, verringert sich aber bei einem Schwarzen Loch mit einen Schwarzschildradius wie die Sonne, $r_0 \approx 3 \cdot 10^{3}$m$\,$, binnen $3{,}3\cdot 10^{-6 }$s um einen Faktor $\mathrm{e}$ und ist schnell unter jeder Nachweisgrenze. Das Bild des Teilchens verlischt wie eine Glühlampe, die man ausschaltet: auch ihr Temperaturunterschied zur Umgebung verschwindet schließlich nur exponentiell. Die Gesamtzahl der Photonen, die der Beobachter vom Teilchen sieht, ist endlich. Damit kann man nur endlich viele Bilder belichten.

Das gemeinsame Gravitationsfeld des Schwarzen Lochs und eines Teilchens, das von $R=\infty$ fällt, ist nicht das eines Schwarzen Lochs mit größerer Masse, denn es ist nicht kugelsymmetrisch. Es ist zeitabhängig, und es werden Gravitationswellen abgestrahlt. Es entsteht wohl schließlich ein Schwarzes Loch mit Drehimpuls (Kerr-Lösung) und mit einer Masse, die um die Energie der abgestrahlten Gravitationswellen geringer ist als die Summe der Massen des Teilchens und des ursprünglichen Schwarzen Lochs.

Das Gravitationsfeld eines Schwarzen Lochs, in das eine kugelsymmetrische Schale von Materie fällt, ist außen dasjenige eines Schwarzes Lochs mit der Gesamtmasse, im von der Schale umschlossenen Bereich wirkt nur die Masse des Zentrums (8.55).