Beobachter auf Kreisbahnen

Ein Beobachter bezieht Längen und Zeiten benachbarter Ereignisse auf einen Satz von vier normierten und zueinander senkrechten Basisvektoren, auf das Vierbein. Dabei ist der zeitartige Basisvektor die Tangente an seine eigene, mit der Eigenzeit parametrisierte Weltlinie. Die Tangente verbindet Ereignisse, die nacheinander stattfinden, und entspricht der mitgeführten Uhr des Beobachters. Die drei dazu senkrechten raumartigen Basisvektoren zeigen von seiner Weltlinie zu gleichzeitigen Ereignissen in Einheitsabstand, sie sind die räumlichen Meßlatten. Einfachheitshalber rechnen wir mit $c=1$.

Ein Beobachter, der in der $x$-$y$-Ebene das Gravitationszentrum mit einer Winkelgeschwindigkeit $\omega$, die er mit seiner eigenen Uhr ermittelt, auf der Bahnkurve

$$\begin{pmatrix}t(s)\\ r(s)\\ \theta(s)\\ \varphi(s) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}s\,a(r)\\ r(0)\\ \frac{\pi}{2}\\ s\,\omega \end{pmatrix} \quad a(r)=\sqrt{\frac{1+{r^2\omega^2}}{1-\frac{r_0}{r}}}$$ (6.86)

umkreist, definiert durch die Beschleunigung und ihre Änderung die Bezugsrichtungen

$$e_0= \begin{pmatrix}a\\ 0\\ 0\\ \omega \end{pmatrix}\ ,\quad e_r=... ...trix}\ ,\quad e_\theta= \begin{pmatrix}0\\ 0\\ \frac{1}{r}\\ 0 \end{pmatrix}\ .$$ (6.87)

Der Vektor $e_0=\frac{dx}{ds}$ ist die Tangente an die Weltlinie des Beobachters, auf der die normierten Vektoren $e_r$, $e_\theta$ und $e_\varphi$ senkrecht stehen. Der Vektor $e_r$ zeigt im Gravitationsfeld vertikal nach oben, $e_\varphi$ horizontal in Bewegungsrichtung nach vorne.

Wir werden die Weltlinie und das Vierbein für die Spezialfälle eines ruhenden Beobachters, $\omega = 0$, eines frei fallenden Beobachters, $b=0$, und auch für verschwindende Gravitation $r_0=0$ untersuchen. In jedem Fall erhalten wir durch wiederholte, kovariante Ableitung das Vierbein

$$\frac{\delta e_a{}^m}{\delta s\phantom{^m}}= \frac{d e_a{}^m}{ds\... ...}+ \bigl ( a \Gamma_{t l}{}^m + \omega\Gamma_{\varphi l}{}^m \bigr ) e_a{}^l\ ,$$ (6.88)

$$\frac{\delta e_0}{\delta s}= b \,e_r\ ,\quad \frac{\delta e_r}{\d... ...varphi}{\delta s}= -\Omega\, e_r\ ,\quad \frac{\delta e_\theta}{\delta s}= 0\ ,$$ (6.89)

$$b=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{r_0}{r}}} \bigl (\frac{r_0}{2r^2}-r\omeg... ...ac{1+r^2\omega^2}{1-\frac{r_0}{r}}} \bigl ( 1 - \frac{3r_0}{2r}\bigr )\omega\ .$$ (6.90)

Dabei haben wir die folgende Liste der nichtverschwindenden Christoffelsymbole $\Gamma_{kl}{}^m$ (C.106) der Schwarzschildmetrik (6.15) sowie $\theta=\pi/2$ verwendet

$$\Gamma_{tr}{}^{t} =\Gamma_{rt}{}^{t}= \frac{r_0}{2r(r-r_0)}\ ,\quad \Gamma_{tt}{}^{r} = \frac{r_0}{2 r^3}(r-r_0)\ ,\quad \Gamma_{rr}{}^{r} = -\frac{r_0}{2r(r-r_0)}\ ,$$

$$\Gamma_{\theta\theta}{}^{r} = -(r-r_0)\ ,\quad \Gamma_{\varphi\varphi}{}^{r} =-(r-r_0)\sin^2\theta\ ,\quad \Gamma_{r\theta}{}^{\theta} =\Gamma_{\theta r}{}^{\theta}= \frac{1}{r}\ ,$$ (6.91)

$$\Gamma_{\varphi\varphi}{}^{\theta} =-\sin\theta\cos\theta\ ,\ \Gamma_{r\varphi}{}^{\varphi} =\Gamma_{\varphi r}{}^{\varphi}= \frac{1}{r}\ ,\quad \Gamma_{\varphi\theta}{}^{\varphi} =\Gamma_{\theta\varphi}{}^{\varphi}=\cot \theta\ .$$

Kreist ein Beobachter für $r>\frac{3}{2} r_0$ mit Winkelgeschwindigkeit $\omega_{\text{frei}}\,$,

$$\omega_{\text{frei}}^2=\frac{r_0}{2r^3}\,\bigl (1-\frac{3r_0}{2r}\bigr )^{-1}\ ,$$ (6.92)

um das Gravitationszentrum, so verschwindet die Beschleunigung $b$ (6.90) und er fällt frei. Diese Winkelgeschwindigkeit ist um $(1-\frac{3r_0}{2r})^{-1/2}$ größer als in Newtonscher Physik. Beim Vergleich von Winkelgeschwindigkeiten ist auch zu berücksichtigen, daß ein im großen Abstand ruhender Beobachter mit seiner Uhr statt $\omega$ die kleinere Winkelgeschwindigkeit $\omega/a$ mißt.

Für $r=\frac{3}{2}r_0$ ist die Beschleunigung $b$ unabhängig von der Winkelgeschwindigkeit und für $r<\frac{3}{2}r_0$ erhöht sich das Gewicht des Beobachters, wenn er nicht ruht, sondern um das Gravitationszentrum kreist. Dort wirkt die zur Kreisbewegung gehörige Zentrifugalkraft nach innen [44] und erhöht das Gewicht, denn die Drehimpulsbarriere $\frac{L^2}{2mr^2}\bigl ( 1 - \frac{r_0}{r}\bigr )$ (6.21) wird maximal für $r=\frac{3}{2}r_0$ und anziehend für $r<\frac{3}{2}r_0$.

Kreisbahnen, die mit $\frac{3}{2}r_0<r\le 3r_0$ im freien Fall durchlaufen werden, sind instabil. Das effektive Potential $V_{\text{eff}}$ (6.21) ist mit $a=\frac{L}{m r_0}$ als Funktion von $u=\frac{r_0}{r}$ durch $V_{\text{eff}} = \frac{m}{2} (-u + a^2 u^2-a^2 u^3)$ gegeben. Ist $a^2 >3$, so wird das effektive Potential extremal bei $u_{\text{min,max}}=\frac{1}{3}\bigl (1 \mp \sqrt{\smash[b]{1-\frac{3}{a^2}}}\,\bigr )$. Die stabilen Kreisbahnen gehören zum Minimum und treten nur für $u<\frac{1}{3}$, also für $r>3r_0$, auf.