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Ruhender Beobachter

Für einen Beobachter mit Masse $ m$, der im Gravitationsfeld der Masse $ M$ mit $ \omega = 0$ ruht, verschwindet die Beschleunigung nicht. Er wiegt $ F = m b$

$\displaystyle F_{\text{Gewicht}}=\frac{m}{\sqrt{1-\frac{r_0}{r}}}\frac{r_0}{2r^...
...frac{d}{dr}\sqrt{g_{00}} = \frac{1}{{\sqrt{1-\frac{r_0}{r}}}}\frac{mMG}{r^2}\ .$ (6.93)

Das Gewicht ist um den Faktor $ 1/\sqrt{1-\frac{r_0}{r}}$ größer als in Newtonscher Physik und wird am Schwarzschildradius unendlich.

Der Tangentialvektor $ \frac{dx}{ds}$ eines Lichtstrahls, der in der $ \theta =\frac{\pi}{2}$-Ebene einfällt, hat für den ruhenden Beobachter in vertikaler $ e_r$-Richtung und horizontaler $ e_\varphi$-Richtung die Komponenten

$\displaystyle e_r\cdot \frac{dx}{ds}=(1-\frac{r_0}{r})^{-\frac{1}{2}}\frac{dr}{ds}\ ,\quad e_\varphi\cdot \frac{dx}{ds}=r\frac{d\varphi}{ds}\ .$ (6.94)

Der Beobachter sieht den Lichtstrahl in der zur Ausbreitungsrichtung entgegengesetzten Richtung mit einem Winkel

$\displaystyle \tan \alpha = - \frac{e_\varphi\cdot \frac{dx}{ds}}{e_r\cdot \frac{dx}{ds}} = - r \sqrt{1-\frac{r_0}{r}}\,\frac{\frac{d\varphi}{ds}}{\frac{dr}{ds}}$ (6.95)

zur Vertikalen einfallen. Mit den Erhaltungssätzen (6.44, 6.46) erhalten wir den Einfallswinkel

$\displaystyle (\tan \alpha)^2 =\frac{\frac{r}{r_0}-1}{\frac{E^2r_0^2}{L^2} \bigl (\frac{r}{r_0}\bigr )^3-\frac{r}{r_0}+1}$ (6.96)

als Funktion des Ortes und von $ Er_0/L$.

Das effektive Potential (6.47) nimmt bei $ r=\frac{3}{2}r_0$ sein Maximum $ V_{\text{eff, max}} =\frac{4}{27}\frac{L^2}{r_0{}^2}$ an. Lichtstrahlen, die diese Potentialbarriere überwinden, haben daher

$\displaystyle E^2>\frac{4}{27}\frac{L^2}{r_0{}^2}$ (6.97)

und können höchstens unter einem Winkel mit

$\displaystyle (\tan \alpha(r))^2=\frac{\frac{r}{r_0}-1}{\frac{4}{27}\bigl (\frac{r}{r_0}\bigr )^3-\frac{r}{r_0}+1}$ (6.98)

zur Vertikalen gesehen werden. Alle Lichtstrahlen von Objekten mit $ r>\frac{3}{2} r_0$, zum Beispiel der Sternenhimmel, werden von ruhenden Beobachtern bei $ r<\frac{3}{2}r_0$ innerhalb des Öffnungswinkels $ \alpha(r)$ gesehen. Für $ r\rightarrow r_0$ geht dieser Öffnungswinkel gegen Null, der ganze sichtbare Sternenhimmel schrumpft auf einen Punkt zusammen so wie in einem Tunnel das Licht vom Eingang. Diese Lichtstrahlen von entfernten Objekten sind gemäß (6.78) zu Frequenzen $ \nu(r)=\nu(\infty)/\sqrt{1-\frac{r_0}{r}}$ blauverschoben. Diese optischen Erscheinungen lassen sich auch als Aberration und Dopplereffekt eines Beobachters verstehen, der sich relativ zu frei fallenden Beobachtern schnell bewegt. Ein bei $ r=r_0$ ruhender Beobachter wäre lichtschnell ebenso wie nach oben abgestrahltes Licht.

Für einen bei $ r=\frac{3}{2}r_0$ ruhenden Beobachter nimmt der Sternenhimmel den halben Raumwinkel und die Objekte innerhalb $ r=\frac{3}{2}r_0$ die andere Hälfte ein. Für Beobachter bei $ r>\frac{3}{2} r_0$ kommen alle Lichtstrahlen, die von Objekten mit $ r<\frac{3}{2}r_0$ abgestrahlt werden, aus einem Bereich mit Öffnungswinkel $ \alpha(r)$. Für große Abstände $ r\rightarrow \infty$ erscheint der Bereich um das Gravitationszentrum um $ \sqrt{3}$ vergrößert; der Bereich innerhalb von $ \frac{3}{2}r_0$ wird unter einem Winkel mit $ \tan \alpha \rightarrow \sqrt{3}\frac{3}{2}\frac{r_0}{r}$ gesehen.

Fallende Beobachter sehen eine durch Aberration verformte, durch den Dopplereffekt verfärbte und durch beide Effekte in der Leuchtstärke abgeänderte Version des Bildes, das ruhende Beobachter am selben Ort sehen. Beim Überqueren von $ r=r_0$ bleibt die Frequenzverschiebung von Licht und der Raumwinkel des Sternenhimmels endlich.




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