Präzession

Für einen Beobachter, der eine Zentralmasse umkreist, ändern sich dauernd die Richtungen der Sterne durch Parallaxe und Aberration, denn sein Ort und seine Geschwindigkeit ändern sich auf der Kreisbahn. Nach einem vollständigen Umlauf sind drehungsfrei transportierte Richtungen wie zum Beispiel Kreiselachsen gegenüber dem Fixsternhimmel verdreht.

Der Vektor $e_r$ zeigt in radiale Richtung, also im Gravitationsfeld nach oben, und wird nur für $r=\frac{3}{2}r_0$ drehungsfrei zu $e_r$ am benachbarten Punkt auf der Kreisbahn transportiert, ebenso der Vektor $e_\varphi$, der in Bewegungsrichtung nach vorne zeigt. Wie (6.89) zeigt, werden die Vektoren

$$e_1 = e_r\cos \Omega s - e_\varphi\sin \Omega s \ ,\quad e_2 = e_r\sin \Omega s + e_\varphi\cos \Omega s$$ (6.99)

drehungsfrei (C.140) verschoben

$$\frac{\delta e_0}{\delta s}= b \,e_1\, \cos\Omega s + b \,e_2\,\s... ...0\, \cos\Omega s\ ,\quad \frac{\delta e_2}{\delta s}= b\, e_0\, \sin\Omega s\ .$$ (6.100)

Bei Vernachlässigung gravitativer und relativistischer Effekte würde hier statt $\Omega$ die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ stehen, die sich für $r_0=0$ als Grenzwert von $\Omega$ für kleine $\omega$ ergibt. Die drehungsfrei transportierten Richtungen $e_1$ und $e_2$ präzedieren also mit Winkelgeschwindigkeit

$$\frac{d\beta}{ds}= \Omega - \omega\ ,\quad \frac{d\beta}{d\varphi}= \frac{\Omega}{\omega} - 1$$ (6.101)

rückwärts gegenüber den Richtungen, die ohne Gravitation und relativistische Effekte drehungsfrei wären. Hat insbesondere nach einem Umlauf $s$ um $2\pi/\omega$ zugenommen, so sind die drehungsfrei transportierten Vektoren $e_1$ und $e_2$ relativ zu den anfänglichen Richtungen und den Fixsternen rückwärts um den Winkel $\beta= 2\pi\, ({\Omega}/{\omega}-1)$ verdreht.

Insbesondere tritt ohne Gravitation für $r_0=0$ rückdrehende Präzession auf Bahnen auf, deren Beschleunigungsrichtung sich dreht. Sie heißt Thomas-Präzession und beträgt

$$\frac{d\beta}{d\varphi}_{\vert _{r_0 = 0}}= \sqrt{1 + r^2 \omega^2} - 1 \approx \frac{1}{2}\frac{r^2\omega^2}{c^2}\ .$$ (6.102)

Wird die Kreisbahn mit $\omega=\omega_{\text{frei}}$ (6.92) im freien Fall durchlaufen, spricht man von geodätischer Präzession oder dem de Sitter-Effekt. Er bewirkt die Präzession von Kreiselachsen um die Senkrechte der Bahnebene mit einer Geschwindigkeit von

$$\frac{d\beta}{ds}_{\vert _{\text{frei}}}=\sqrt{\frac{r_0}{2 r^3}}... ...-\frac{1}{2}} \bigr ) \approx -\frac{3c}{4\sqrt{2}}\frac{r_0^{3/2}}{r^{5/2}}\ .$$ (6.103)

Sie hat das entgegengesetzte Vorzeichen der Thomas-Präzession. Auf einer erdnahen Kreisbahn sind die drehungsfreien Richtungen innerhalb eines Jahres um etwa $8{,}4 \arcsecond$ im Umlaufsinn gegenüber den Fixsternen verdreht.