Frei fallende Zwillinge

Diejenige Weltlinie, auf der zwischen zwei zeitartig zueinander liegenden Ereignissen am meisten Zeit vergeht, ist, wenn sie existiert, die Weltlinie eines frei fallenden Beobachters, aber umgekehrt ist nicht unbedingt wahr, daß auf der Weltlinie jedes frei fallenden Beobachters zwischen zwei Ereignissen mehr Zeit vergeht als auf jeder anderen Weltlinie, die ebenfalls diese Ereignisse verbindet. Sind die Ereignisse weit entfernt, so kann auf einer geodätischen Weltlinie durchaus weniger Zeit vergehen als auf einer beschleunigten.

Zum Beispiel durchläuft ein ortsfester Beobachter mit Weltlinie

$$\begin{pmatrix}t(s^\prime),\ r(s^\prime),\ \theta(s^\prime),\ \va... ...prime \frac{1}{\sqrt{1-\frac{r_0}{r}}},\ r(0),\ \frac{\pi}{2},\ 0 \end{pmatrix}$$ (6.104)

und ein Beobachter, der die Erde im freien Fall umkreist (6.86, 6.92), die Ereignisse $(0,r(0),\frac{\pi}{2},0)$ und $(\frac{2\pi }{\omega}a(r),r(0),\frac{\pi}{2},0\sim 2\pi)$.

Zwischen diesen Ereignissen vergeht auf der Kreisbahn die Zeit $s=\frac{2\pi}{\omega}$, beim ortsfesten, nicht frei fallenden Beobachter vergeht mehr Zeit

$$s^\prime=\frac{2\pi}{\omega}a(r)\sqrt{1-\frac{r_0}{r}}=s\sqrt{1+r^2\omega^2}\ .$$ (6.105)

Die Zeit, die beim ortsfesten Beobachter zwischen einer Umkreisung vergeht, ist nicht maximal, denn auf seiner Weltlinie ist die Wirkung (6.5) nicht stationär. Am meisten Zeit vergeht auf der Weltlinie eines Beobachters im senkrechten Fall. Man kann durch Wahl der Gipfelhöhe der Bahn erreichen, daß ein von der Erde mit hoher Geschwindigkeit senkrecht gestarteter Beobachter im freien Fall während der Aufwärtsbewegung an der Raumstation und am ortsfesten Beobachter vorbeikommt und bei der Abwärtsbewegung dieselbe Stelle passiert, wenn die Raumstation gerade eine Umkreisung vollendet hat. Die zwei Ereignisse, in denen sich die Weltlinie des senkrecht fallenden Beobachters und der im freien Fall kreisenden Raumstation kreuzen, sind durch zwei geodätische Linien verbunden; das Gravitationsfeld der Erde bündelt sie wie eine gravitative Linse.

Es gilt ganz allgemein, daß in einem zentralsymmetrischen Gravitationsfeld auf einer geodätischen Weltlinie $\Gamma$ die Uhrzeit zwischen zwei Ereignissen $A$ und $B$ nicht maximal wird, wenn $\Gamma$ den Zentralkörper zwischen $A$ und $B$ mehr als halb umläuft. Denn dann besitzt sie zwischen $A$ und $B$ einen zu $A$ fokalen Punkt $C$.

Ein Ereignis $C$ heißt fokaler Punkt zu $A$, wenn $A$ und $C$ durch zwei verschiedene geodätische Linien gleicher Länge verbunden sind. Solch ein fokaler Punkt $C$ wird im zentralsymmetrischen Gravitationsfeld auf $\Gamma$ nach einem halben Umlauf erreicht, denn alle Kurven, die aus $\Gamma$ durch Rotation um die Achse vom Zentrum zu $A$ entstehen,

Abbildung: Abkürzung am fokalen Punkt

sind geodätische Linien gleicher Länge, die $A$ und $C$ verbinden.

Hinter einem fokalen Punkt ist die Zeit von $A$ nach $B$ auf $\Gamma$ nicht mehr maximal, wie man aus der Abbildung 6.2 abliest. Die Zeit stimmt mit der Zeit längs $\hat{\Gamma}$ von $A$ nach $C$ und längs $\Gamma$ von $C$ nach $B$ überein und kann durch eine ,,Abkürzung`` von $S$ nach $R$ noch vergrößert werden.

Daß die Zeit auf der Abkürzung zwischen $S$ und $R$ größer als von $S$ über $C$ nach $R$ ist, hatten wir bei der Diskussion des Zwillingsparadoxons in Abbildung 2.10 gesehen. Für kleine Dreiecke überträgt sich die Ungleichung $\tau_{RS}>\tau_{RC}+\tau_{CS}$ des flachen Minkowski-Raumes in die gekrümmte Raumzeit, denn im Punkt $C$ kann die Metrik auf die Form $g_{mn\,\vert _{C}}=\eta_{mn}$ des flachen Raumes gebracht werden und in genügend kleinen Raumzeit-Gebieten ändert sie sich nur wenig.

Wenn die geodätischen Linien $\Gamma$ und $\hat{\Gamma}$ in Abbildung 6.2 Lichtstrahlen sind, die vom Gravitationsfeld einer Masse fokussiert werden, dann gibt es eine geodätische Linie von $A$ nach $B$, auf der die Wirkung, die zur Lagrangefunktion (6.39) gehört, maximal und größer als Null ist. Also gibt es bei optischen Gravitationslinsen einen frei fallenden Beobachter, der wie in einem Spiegel in seine Vergangenheit schauen und bei $B$ Licht sehen kann, das er bei $A$ ausgesendet hat.