Lokale Energie-Impulserhaltung

Die Geodätenhypothese folgt daraus, daß die Wirkung, aus der die Feldgleichungen abgeleitet werden, invariant unter Koordinatentransformationen ist.

Unter infinitesimalen Koordinatentransformationen $x^{\prime\, m}= x^m - \xi^m$ ändert sich die Metrik um die Lieableitung (C.107) längs $\xi$

$$\delta_\xi g_{mn}= \xi^k\partial_k g_{mn} + \partial_m\xi^k g_{kn} + \partial_n \xi^k g_{mk}\ .$$ (7.1)

Wir unterstellen, daß in Abwesenheit von Materie die Feldgleichungen der Metrik aus einer Wirkung $W_{\text{Metrik}}[g]$ folgen, die invariant unter allgemeinen Koordinatentransformationen ist, und daß alle anderen Felder $\phi$, die Materiefelder, durch eine ebenfalls koordinateninvariante Wirkung $W_{\text{Materie}}$ an die Metrik gekoppelt ist ^7.1

$$W[g,\phi] = W_{\text{Metrik}}[g] + W_{\text{Materie}}[g,\phi]\ .$$ (7.2)

Wie die Felder $\phi$ unter infinitesimalem Wechsel der Koordinaten transformieren und welche genauere Struktur die beiden Anteile der Wirkung haben, wird im weiteren nicht benötigt, da wir nur die Noetheridentität (G.38) auswerten, die zu den Transformationen (7.1) gehört. Erfüllen die Materiefelder $\phi_i$ ihre Bewegungsgleichungen $\frac{\delta W_{\text{Materie}}}{\delta \phi_i}= 0$, so gelten identisch im Feld $g_{mn}$ die Gleichungen (G.54)

$$(\partial_k g_{mn} )\frac{\delta W_{\text{Materie}}}{\delta g_{mn... ...} ) - \partial_n (g_{mk} \frac{\delta W_{\text{Matrie}}}{\delta g_{mn}} ) =0\ .$$ (7.3)

Die Variationsableitung der Materiewirkung

$$\frac{\delta W_{\text{Materie}}}{\delta g_{mn}(x)}= -\frac{1}{2}\mathcal{T}^{mn}$$ (7.4)

ist bis auf den Faktor $-\frac{1}{2}$ die Energie-Impulstensordichte: $\mathcal{T}^{mn}$ stimmt im flachen Raum aufgrund der Bewegungsgleichungen der Materie bis auf sogenannte Verbesserungsterme mit dem Energie-Impulstensor überein, der die Ströme enthält, die zur Invarianz unter räumlichen und zeitlichen Translationen gehören. Diese Identifizierung (G.55) der Variationsableitung der Materiewirkung als Energie-Impulstensordichte ist eine Folge der Invarianz der Materiewirkung unter Wechsel des Koordinatensystems und gilt unabhängig von Besonderheiten dieser oder jener Materiewirkung.

Die Energie-Impulstensordichte ist in den Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie

$$\frac{\delta W_{\text{Metrik}}}{\delta g_{mn}(x)}= \frac{1}{2} {\mathcal{T}}^{mn}(x)$$ (7.5)

die Quelle für Gravitation und enthält in ihren Komponenten Energiedichten und Energiestromdichten sowie Impulsdichten und Impulsstromdichten. Alle Materie erzeugt also Gravitation auf ein und dieselbe Art durch ihre Energie-Impulstensordichte, unabhängig davon, welche anderen Eigenschaften die jeweilige Materie hat. Der erstaunliche Befund, daß auch bei der Erzeugung von Gravitation alle Materie äquivalent ist, solange sie nur die gleiche Energie-Impulstensordichte erzeugt, folgt so wie die Tatsache, daß alle Materie durch Gravitation auf dieselbe Art beeinflußt wird, aus der Invarianz der Wirkung unter Wechsel der Koordinaten.

Weil die Metrik $g_{mn}=g_{nm}$ symmetrisch unter Vertauschung der beiden Indizes ist, ist die Energie-Impulstensordichte symmetrisch

$${\mathcal{T}}^{mn}= {\mathcal{T}}^{nm}\ .$$ (7.6)

Die Noetheridentität (7.3) besagt für die Energie-Impulstensordichte

$$\partial_l{\mathcal{T}}^{ml} + \Gamma_{kl}{}^m {\mathcal{T}}^{kl} = 0\ ,$$ (7.7)

wobei

$$\Gamma_{kl}{}^m = \frac{1}{2}g^{mn}(\partial_k g_{nl}+\partial_l g_{nk}-\partial_n g_{kl})$$ (7.8)

das Christoffelsymbol (C.106) ist, das zum metrikverträglichen, torsionsfreien Paralleltransport gehört.

Daß die Gleichung (7.7) kovariant ist und in allen Koordinatensystemen gilt, wird offensichtlich, wenn wir von der Tensordichte $\mathcal{T}^{mn}$ das Volumenelement $\sqrt{\mathrm{g}}$ (H.13) abspalten

$$\mathcal{T}^{mn}= \sqrt{\mathrm{g}}\, T^{mn}\ .$$ (7.9)

Der Energie-Impulstensor $T^{mn}$ erfüllt wegen (7.7) und (H.14) die Gleichung

$$0=\sqrt{\mathrm{g}}\bigl( \partial_l T^{ml}+ \Gamma_{lk}{}^k T^{ml} + \Gamma_{lk}{}^m T^{kl}\bigr ) =\sqrt{\mathrm{g}}D_l T^{ml} \ ,$$ (7.10)

es verschwindet also die kovariante Divergenz des Energie-Impulstensors. Dabei ist die Konnektion $\Gamma_{kl}{}^m$, mit der die kovariante Ableitung gebildet wird, metrikverträglich und torsionsfrei, also durch das Christoffelsymbol gegeben.

Die Gleichung (7.7) beschreibt analog zur Elektrodynamik (5.26), wie in der Allgemeinen Relativitätstheorie Energie und Impuls erhalten sind und wie die Energie- und Impulserhaltung verletzt ist.

Für jeden Raumzeitpunkt lassen sich Koordinaten finden, so daß das Christoffelsymbol an diesem Punkt verschwindet. Dies haben wir im Anschluß an Gleichung (C.74) gezeigt. Grenzt man in solch einem Koordinatensystem ein kleines Volumen ab, und integriert man die Energiedichte $\mathcal{T}^{00}$, so ändert sich, analog zu (5.22), die im Volumen befindliche Energie nur dadurch, daß unausgeglichen Energie durch die Randflächen in das Volumen hinein oder heraus strömt. Dies ist zwar nicht ganz richtig, denn das Christoffelsymbol verschwindet nicht im ganzen Volumen, aber man kann den Fehler durch Verkleinern des Volumens beliebig klein machen. Gleiches gilt für jede Komponente des Impulses und die zugehörige Impulsdichte $\mathcal{T}^{0i}$. Lokal gilt also in jedem Raumzeitpunkt Energie- und Impulserhaltung.

Folglich gibt die Allgemeine Relativitätstheorie auf die Frage: ,,Wann würden wir es auf der Erde merken, wenn plötzlich die Sonne nicht mehr da wäre und die Gravitation der Sonne die Erde nicht mehr auf einer Umlaufbahn hielte?`` die Antwort, daß solch eine Situation nicht entstehen kann, denn Energie und Impuls können nicht einfach weggedacht werden, sondern nur an einen anderen Punkt transportiert werden. Die Frage ist im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie so sinnvoll wie in der Zahlentheorie die Frage, ob eine ganze Zahl gerade oder ungerade ist, wenn sie zwischen 0 und 1 liegt.

Obwohl es in jedem Raumzeitpunkt Energie- und Impulserhaltung gibt, gibt es dennoch keine Erhaltung der Gesamtenergie oder des Gesamtimpulses. Es läßt sich, wie wir im Anschluß an Gleichung (C.67) diskutiert haben, das Christoffelsymbol nur dann in einer Umgebung eines Punktes durch Wahl des Koordinatensystems auf Null transformieren, wenn der Riemanntensor verschwindet und folglich die Raumzeit flach ist. Dies ist nur in einer Raumzeit, die vollständig leer ist, der Fall. Der Term $\Gamma_{kl}{}^m \mathcal{T}^{kl}$ in (7.7) verletzt die Energie- und Impulserhaltung. Anders als im Fall der Elektrodynamik (5.26), wo die Zusatzterme $\frac{1}{c}F^k{}_nj^n$ den Austausch von Energie und Impuls des elektromagnetischen Feldes mit den Ladungen beschreibt, kann $\Gamma_{kl}{}^m \mathcal{T}^{kl}$ nicht einfach als Austausch von Energie- und Impuls der Materie mit dem Gravitationsfeld gedeutet werden, denn dieser Term hängt vom verwendeten Koordinatensystem ab. Er kann nicht lokal gemessen werden, denn alle lokalen Meßapparate messen Größen, die vom verwendeten Koordinatensystem unabhängig sind.

Wenn aber die Metrik eine Isometrie besitzt und es ein Killingfeld $\xi$ mit $\delta_\xi g_{mn} = 0$ (7.1) gibt, dann folgt aus (7.7) ein zur Symmetrie gehöriger erhaltener Strom. Wir sehen dies, wenn wir die nach Wilhelm Killing [45] benannte Gleichung (E.28)

$$0= \xi^k\partial_k g_{mn} + \partial_m\xi^k g_{kn} + \partial_n \xi^k g_{mk}$$ (7.11)

mit $\mathcal{T}^{mn}$ multiplizieren und, wir verwenden die Schreibweise $\xi_n=g_{nk}\xi^k$, geeignet zusammenfassen

$$\begin{aligned}0=&\, \bigl (\xi^k\partial_k g_{mn} + \partial_m... ...}) - \partial_n (g_{mk}\mathcal{T}^{mn}) \bigr )\ . \end{aligned}$$

Die letzte Zeile verschwindet wegen (7.3). Dann besagt die Gleichung, daß zu jedem Killingfeld ein erhaltener Strom gehört (G.55)

$$j^m_\xi=\mathcal{T}^{mn}\xi_n\ ,\quad \partial_m j^m_\xi = 0\ .$$ (7.13)

Ist zum Beispiel die Metrik zeitunabhängig, so ist die Energie der Materie im Gravitationsfeld erhalten; ist die Metrik drehinvariant, so ist der Drehimpuls der Materie erhalten. Ändert sich die Metrik wie im expandierenden Universum im Laufe der Zeit, so ist die Energie nicht erhalten. Die Energie der Hintergrundstrahlung nimmt durch die Rotverschiebung, die mit der Expansion einhergeht, ab, ohne daß diese Energie in eine andere, lokal meßbare Energieform überführt wird.

Auch zu jedem konformen Killingfeld $\xi$, $\xi^k\partial_k g_{mn} + \partial_m\xi^k g_{kn} + \partial_n \xi^k g_{mk} +\epsilon g_{mn}= 0$, gehört, wie (7.12) zeigt, ein erhaltener Strom $\mathcal{T}^{mn}\xi_n$, wenn die Energie-Impulstensordichte spurfrei ist $\mathcal{T}^{mn}g_{mn}= 0$. Dies ist dann der Fall, wenn die Lagrangedichte von der Metrik $g_{mn}$ nur über die metrische Dichte $\gamma^{mn}= \mathrm{g}^{\frac{1}{d}}g^{mn}$ abhängt, beispielsweise beim Skalarfeld $\phi$ in $d=2$ Dimensionen mit Lagrangedichte $\mathscr{L}=\sqrt{\mathrm{g}}g^{mn}\partial_m \phi\partial_n\phi$ oder beim Vektorfeld $A_m$ in $d=4$ Dimensionen mit Lagrangedichte (7.37).