Testteilchen

Ist ein Testteilchen so klein, daß auf seinen Abmessungen die Ungleichmäßigkeit des metrischen Feldes vernachlässigt werden kann, andererseits aber so ausgedehnt, daß die Gravitation, die es selbst erzeugt auch an dem Ort vernachlässigt werden kann, an dem es sich aufhält, so durchläuft im Vakuum, wie wir in diesem Abschnitt zeigen [46], der Schwerpunkt dieses Testteilchens in der Raumzeit eine geodätische Weltlinie des torsionsfreien, metrikverträglichen Paralleltransports.

Ein Teilchen hat Energie und Impuls und trägt also zur Energie-Impulstensordichte (7.4) bei. Um das Verhalten des Teilchens im Gravitationsfeld zu klären, denken wir uns die Feldgleichungen (7.5) der Gravitation zunächst in Abwesenheit des Teilchens gelöst. Dann existieren eine Metrik $g_{mn}$ und eine Energie-Impulstensordichte $\mathcal{T}^{mn}$, die insbesondere die Gleichung (7.7) für die kovariante Energie-Impulserhaltung lösen. Fügen wir ein Testteilchen hinzu, so ändert sich die Metrik und damit verbunden das Christoffelsymbol und die Energie-Impulstensordichte. Außer (7.7) gilt auch

$$0=\partial_l (\mathcal{T}^{ml}+\tau^{ml}) + (\Gamma_{kl}{}^m + \gamma_{kl}{}^m)(\mathcal{T}^{kl}+\tau^{kl})\ .$$ (7.14)

Für die Änderung $\tau^{ml}$ der Energie-Impulstensordichte, die vom Testteilchen hervorgerufen ist, und die Änderung des Christoffelsymbols $\gamma_{kl}{}^m$ folgt also

$$0=\partial_l \tau^{ml} + \Gamma_{kl}{}^m \tau^{kl} + \gamma_{kl}{}^m(\mathcal{T}^{kl}+\tau^{kl})\ .$$ (7.15)

Eine etwaige Vakuumenergiedichte, die zu einer kosmologischen Konstante gehört und die getrennt (7.7) erfüllt, denken wir uns von $\mathcal{T}^{kl}$ abgezogen. Betrachten wir dann das Testteilchen im Vakuum, so verschwindet $\mathcal{T}^{kl}$ dort. Darüber hinaus nehmen wir an, daß wir die gravitative Rückwirkung des Teilchens auf sich selbst, den Term $\gamma_{kl}{}^m\tau^{kl}$ vernachlässigen dürfen. Diese Annahme schließt aus, daß das Teilchen ein Punktteilchen ist. Insbesondere muß das Teilchen groß gegen den zu seiner Masse gehörigen Schwarzschildradius sein und überall geringe Dichten von Energie- und Impuls haben, damit wir die ihm eigene Gravitation vernachlässigen können.

Mit diesen Modellannahmen vernachlässigen wir die gravitativen Auswirkungen des Testteilchens und fassen die Metrik $g_{mn}$ als vorgegebenes Feld auf, als sogenanntes Hintergrundfeld, unter dessen Einfluß sich das Testteilchen bewegt

$$0=\partial_l \tau^{ml} + \Gamma_{kl}{}^m \tau^{kl}$$ (7.16)

und folglich

$$\tau^{mn}=\partial_l \bigl(x^n\tau^{ml}\bigr ) + x^n \Gamma_{kl}{}^m \tau^{kl}\ .$$ (7.17)

Als weitere Eigenschaft des Teilchens nehmen wir an, daß die Energie-Impulstensordichte des Teilchens auf einen Schlauch um die Weltlinie des Schwerpunktes $X(\lambda)$ beschränkt ist, das heißt, wenn wir über Schichten gleicher Zeit $x^0=X^0(\lambda)$ integrieren, so verschwindet für jedes $\lambda$

$$\int_{x^0=X^0(\lambda)}\!d^3 x\, (x^l - X^l(\lambda))\tau^{mn} = 0\ .$$ (7.18)

Für $m=n=0$ definiert diese Gleichung die Weltlinie des Energieschwerpunktes eines ausgedehnten Teilchens. Wir fordern als Eigenschaft des Teilchens, daß die Schwerpunkte der anderen Komponenten der Energie-Impulstensordichte mit dem Energieschwerpunkt übereinstimmen, so wie das bei einem Punktteilchen der Fall ist.

Zur rechnerischen Vereinfachung wählen wir als Parameter $\lambda$ der Weltlinie die Koordinatenzeit $x^0$ und nennen ihn $t$. Es gilt dann einfach $X^0(t)=t$.

Der Schlauch sei groß genug, daß die Energie- und Impulsdichten des Teilchen klein sind, und klein genug, so daß sich auf seinen Abmessungen nicht auswirkt, daß die Gravitation ungleichmäßig ist. Was diese etwas unklaren Eigenschaften genau besagen sollen, zeigt die folgende Rechnung.

Wir integrieren (7.16) über Schichten gleicher Zeit $x^0 = t$

$$0= \int_{x^0 = t} \!d^3 x\, \left ( \partial_0 \tau^{m0} + \partial_i \tau^{mi} + \Gamma_{kl}{}^m \tau^{kl}\right )\ .$$ (7.19)

Beim ersten Term kann die Zeitableitung vor das Integral gezogen werden. Das Integral über die räumlichen Ableitungen $\partial_i \tau^{mi}$ verschwindet, denn nach dem Gaußschen Satz ist es gleich dem Oberflächenintegral über die Fläche, die das Integrationsvolumen berandet, und in weiter Entfernung von Schwerpunkt verschwindet $\tau^{mi}$, weil das Teilchen klein ist. Beim dritten Term entwickeln wir $\Gamma_{kl}{}^m(x)$ um den Schwerpunkt mit einem Restglied zweiter Ordnung

$$\Gamma_{kl}{}^m(x)= \Gamma_{kl}{}^m(X)+ (x^r-X^r)\partial_r \Gamm... ...ac{1}{2}(x^r-X^r)(x^s-X^s)\partial_r\partial_s\Gamma_{kl}{}^m(\overline{x})\ ,$$

wobei $\overline{x}$ ein Punkt zwischen $X(t)$ und $x$ ist. Setzten wir diese Entwicklung in das Integral $\int_{x^0=t}\Gamma_{kl}{}^m(x)\tau^{kl}$ ein, so können wir beim ersten Term $\Gamma_{kl}{}^m(X)$ und beim zweiten $\partial_r \Gamma_{kl}{}^m(X)$ vor das Integral ziehen, da diese Faktoren nicht von der Integrationsvariablen abhängen. Das Integral über $(x^r-X^r)\tau^{kl}$ verschwindet nach Definition des Schwerpunktes (7.18). Das Integral über den Term mit dem Restglied vernachlässigen wir

$$\int_{x^0=t}d^3x\, \frac{1}{2}(x^r-X^r)(x^s-X^s)\partial_r\partial_s\Gamma_{kl}{}^m(\overline{x})\tau^{kl}\approx 0\ .$$ (7.20)

Es ist proportional zu den Änderungen von $\Gamma$ in zweiter Ordnung innerhalb der Abmessungen des Teilchens und verschwindet im Grenzfall eines nicht ausgedehnten Teilchens. In diesem Sinn ist ein Testteilchen klein.

Wir erhalten mit dieser Näherung aus (7.19)

$$0=\frac{d}{dt}\int\!d^3 x\,\tau^{m0}+ \Gamma_{kl}{}^m(X(t)) \int\! d^3 x \, \tau^{kl}\ .$$ (7.21)

Für ein Integral mit $\Gamma_{kl}{}^m$ wirkt $\tau^{kl}$ wie ein Vielfaches der $\delta^3(\vec{x}-\vec{X}(t))$-Funktion.

Integrieren wir (7.17), so erhalten wir aus denselben Gründen

$$\begin{aligned}\int\! d^3x\,\tau^{kl}=& \int\!d^3x\,\left (\par... ...\, \Gamma_{mn}{}^l (X(t))\!\int\!d^3x\,\tau^{mn}\ . \end{aligned}$$

Kombinieren wir dies Ergebnis mit (7.21), so vereinfacht es sich zu

$$\int\!d^3x\,\tau^{kl}= \bigl (\frac{d}{dt}X^k(t)\bigr ) \int\!d^3x\,\tau^{0l}\ .$$ (7.23)

Für $l=0$ und wegen $\tau^{kl}= \tau^{lk}$ erhalten wir

$$\int\!d^3x\,\tau^{0k} = \bigl (\frac{d}{dt}X^k(t)\bigr ) \int\!d^3x\,\tau^{00}\ ,$$ (7.24)

und, wenn wir $k$ in $l$ umbenennen und in (7.23) einsetzen,

$$\int\!d^3x\,\tau^{kl}= \bigl (\frac{d}{dt}X^k(t)\bigr ) \bigl (\frac{d}{dt}X^l(t)\bigr ) \int\!d^3x\,\tau^{00}\ .$$ (7.25)

Setzen wir in (7.21) ein, so ergibt sich

$$0=\frac{d}{dt}\bigl ( \frac{dX^m}{dt}\int\!d^3x\,\tau^{00} \bigr )+ \Gamma_{kl}{}^m(X)\frac{dX^k}{dt}\frac{dX^l}{dt}\int\!d^3x\,\tau^{00}\ .$$ (7.26)

Dies ist die Geodätengleichung in der Parametrisierung $X^0(t)=t$. Fassen wir $t(s)$ als Funktion eines Parameters $s$ auf, die durch

$$\frac{dt}{ds}= f(t)\ ,\quad f(t)= \frac{1}{m}\int_{x^0=t}d^3x\,\tau^{00}$$ (7.27)

definiert ist, über den Normierungsfaktor $m$ sagen wir gleich etwas, dann ist (7.26) die Gleichung für eine geodätische Weltlinie (6.13), die mit ihrer Eigenzeit parametrisiert ist

$$\frac{d^2}{ds^2}X^m(s) + \Gamma_{kl}{}^m(X)\frac{dX^k}{ds}\frac{dX^l}{ds} = 0\ .$$ (7.28)

Greifen wir nochmal die Bemerkung nach (7.21) auf, daß für Integrale über $\Gamma_{kl}{}^m$ die Energie-Impulstensordichte wie ein Vielfaches der $\delta$-Funktion wirkt. Dieses Vielfache wird in (7.25) und (7.27) bestimmt. Bei Integration mit $\Gamma_{kl}{}^m$ ist die Energie-Impulstensordichte

$$\tau^{kl}(x) = m \frac{dX^k}{dt}\frac{dX^l}{dt}\frac{dt}{ds}\delta^3(\vec{x}-\vec{X}(t))\ .$$ (7.29)

Den Normierungsfaktor $m$ identifizieren wir als Masse des Teilchens. Dazu integrieren wir die Komponenten $\tau^{k0}$, das sind die Dichten von Energie und Impuls, über eine Schicht gleicher Zeit. Für Energie und Impuls erhalten wir

$$P^k(t) = \int_{x^0=t}d^3x\, \tau^{k0}= m \frac{dX^k}{ds}(s(t))\ .$$ (7.30)

Dies ist im Maßsystem $c=1$ der Viererimpuls eines Teilchens mit Masse $m$ und Eigenzeit $s$ (4.95, 4.6).

Verteilt man viele Teilchen mit einer Energie-Impulstensordichte (7.29) zu einem Kontinuum mit Massendichte $\rho(x)$ und normierter Vierergeschwindigkeit $u^k(x)$, $u^2 = 1$,

$$\mathcal{T}^{kl} = \sqrt{\mathrm{g}}\,\rho\, u^k\, u^l\ ,$$ (7.31)

Materie mit solch einem Energie-Impulstensor nennt man Staub, so besagt die kovariante Energie-Impulserhaltung

$$0=\sqrt{\mathrm{g}}D_k(\,\rho\, u^k\, u^l)=\sqrt{\mathrm{g}}\bigl ( D_k(\rho\, u^k) u^l + \rho\, u^k D_k u^l \bigr )\ .$$ (7.32)

Die beiden Terme müssen getrennt verschwinden, denn die Ableitung eines Einheitsvektors $D_k u^l$ steht auf $u^l$ senkrecht (C.100). Die Gleichung

$$u^k D_k u^l = 0$$ (7.33)

ist die Geodätengleichung für die Weltlinien $x(s)$, $u^l=\frac{dx^l}{ds}$, der Staubteilchen. Die Staubteilchen fallen frei. Ihre Massendichte gehört zu einem erhaltenen Strom (H.15)

$$\sqrt{\mathrm{g}} D_k \bigl (\rho\, u^k\bigr )= \partial_k\bigl ( \sqrt{\mathrm{g}}\,\rho\,u^k \bigr )= 0\ .$$ (7.34)

Die Massendichte $\rho$ ändert sich, wenn geodätische Weltlinien auseinander- oder zusammenlaufen. Bezeichne $f(s)=D_k u^k{}_{\vert _{x(s)}}$ die Viererdivergenz der geodätischen Linien als Funktion des Bahnparameters, so besagt $\partial_k(\sqrt{\mathrm{g}}\, \rho \, u^k)=0$, daß die Massendichte $\rho$ längs der geodätischen Weltlinie die Differentialgleichung

$$\frac{d}{d s}\rho + f(s) \rho = 0$$ (7.35)

erfüllt. Ist die Massendichte $\rho(x)$ auf den Ereignissen $x(0)$ vorgegeben, die von den geodätischen Weltlinien für $s=0$ durchlaufen werden, so liegt sie überall fest

$$\rho(x(s))=\rho(x(0))\, \mathrm{e}^{-\int_0^s d s^\prime f(s^\prime)}\ .$$ (7.36)