Lichtstrahlen

Licht ist eine elektromagnetische Welle, die die Maxwell-Gleichungen löst. Um den Einfluß der Gravitation auf Licht zu bestimmen, untersuchen wir die Feldgleichungen für das elektromagnetische Viererpotential, die sich aus der Wirkung mit Lagrangedichte

$$\mathscr{L}_{\text{Maxwell}}(g, A, \partial A ) = -\frac{1}{16\pi... ..._k A_l - \partial_l A_k \bigr ) \bigl ( \partial_m A_n - \partial_n A_m \bigr )$$ (7.37)

ergeben. Diese Lagrangefunktion ist bei Abwesenheit weiterer Felder bis auf vollständige Ableitungen und die Normierung eindeutig festgelegt, wenn man fordert, daß die Bewegungsgleichungen linear in $A_m$ und zweiter Ordnung sein sollen und daß die Wirkung invariant unter Eichtransformationen (5.61) und unter Koordinatentransformationen (A.79) sein soll. Wenn die Metrik flach ist $g_{\text{flach\ }mn}=\eta_{mn}$, dann stimmt die Lagrangefunktion mit (5.117) überein.

Sowohl die Eichinvarianz und Koordinateninvarianz als auch die Beschränkung der Ableitungsordnung sind in einer Quantenfeldtheorie zwingend erforderlich [37], damit sich nicht unphysikalische Freiheitsgrade mit negativen, und daher widersinnigen Wahrscheinlichkeiten in physikalischen Prozessen auswirken.

Durch Variation des Viererpotentials $A_n(x)$ in $W_{\text{Maxwell}}$ erhält man die Bewegungsgleichungen

$$\partial_m \bigl ( \sqrt{\mathrm{g}} g^{km}g^{ln} \bigl ( \partial_k A_l - \partial_l A_k \bigr ) \bigr )= 0 \ .$$ (7.38)

Diese Gleichungen sind kovariant, denn die Feldstärke $F_{kl}=\partial_k A_l - \partial_k A_k$ und daher auch $F^{mn}= g^{km}g^{ln}F_{kl}$ transformieren, wie ihr Indexbild angibt, als Tensor (5.133). Die Ableitung von $\sqrt{\mathrm{g}}$ ergibt ein Christoffelsymbol (H.14), das die partielle Ableitung von $F^{mn}$ zur torsionsfreien und metrikverträglichen kovarianten Ableitung ergänzt. Zudem kann ein Term $\sqrt{\mathrm{g}}\,\Gamma_{ml}{}^n F^{ml}$ hinzugefügt werden, da die Summe über ein antisymmetrisches Indexpaar $F^{ml}= - F^{lm}$ und ein symmetrisches Indexpaar $\Gamma_{ml}{}^n=\Gamma_{lm}{}^n$ verschwindet (5.17)

$$\partial_m\bigl (\sqrt{\mathrm{g}}\,F^{mn} \bigr )= \sqrt{\mathrm... ...{}^m F^{ln} + \Gamma_{ml}{}^n F^{ml}\bigr ) = \sqrt{\mathrm{g}}\, D_m F^{mn}\ .$$ (7.39)

Wegen $\Gamma_{kl}{}^m=\Gamma_{lk}{}^m$ kann die Feldstärke auch durch kovariante Ableitungen, $D_k A_l = \partial_k A_l - \Gamma_{kl}{}^n A_n$, geschrieben werden $F_{kl}= D_k A_l - D_l A_k$. Zudem können wir die Indizes von Tensorkomponenten mit der Metrik hoch- und runterziehen, denn die kovariante Ableitung der Metrik und folglich der inversen Metrik (C.98) verschwindet. Daher sind die Maxwellgleichungen im Vakuum der gekrümmten Raumzeit

$$D^m ( D_m A_n - D_n A_m ) = 0\ .$$ (7.40)

In der kovarianten Formulierung der Maxwellgleichung tritt die metrikverträgliche, torsionsfreie Konnektion, das Christoffelsymbol auf. Ebenso wie Testteilchen spürt das elektromagnetische Feld nichts von Torsion.

Den zweiten Term in den Maxwellgleichungen schreiben wir mit (C.54) um, wobei wir berücksichtigen, daß die Torsion verschwindet

$$D_m D_n A^m = [D_m, D_n] A^m + D_n D_m A^m = R_{mnr}{}^m A^r + D_n D_m A^m\ .$$ (7.41)

Die Summe

$$R_{mn}=R_{mln}{}^l$$ (7.42)

definiert die Komponenten des Riccitensors^7.2. Er ist permutationssymmetrisch (C.112)

$$R_{mn}= R_{nm}\ .$$ (7.43)

Damit schreiben sich die Feldgleichungen des Viererpotentials als

$$D^m D_m A_n + R_{nm} A^m - D_n D_m A^m = 0\ .$$ (7.44)

Über die Eichfreiheit des Viererpotentials kann man so verfügen, daß diese Gleichungen einfacher werden. Verlangt man die Lorenzeichung (5.66)

$$D_m A^m = 0\ ,$$ (7.45)

so entkoppeln die vier Potentialfunktionen teilweise

$$D^m D_m A_n + R_{nm} A^m = 0\ .$$ (7.46)

Im flachen Raum verschwinden der Riemann- und der Riccitensor und es gibt kartesische Koordinatensysteme, in denen die Christoffelsymbole Null sind. Dann reduzieren sich diese Gleichungen auf die Wellengleichung (5.72) im Vakuum.

Die Wellengleichung im gekrümmten Raum erhält man nicht aus der Wellengleichung des flachen Raumes, indem man die partiellen Ableitungen durch kovariante Ableitungen ersetzt. Über diese minimale Ersetzung hinaus enthält sie einen Zusatzterm mit dem Ricci-Tensor, der nicht einfach einem Term im flachen Raum entspricht.

Die Variationsableitung der Maxwellwirkung nach der Metrik ist die Energie-Impulsdichte des elektromagnetischen Feldes (7.4). Mit den Formeln (H.8) für die Ableitung einer Determinante und der inversen Matrix (H.11) erhalten wir aus (7.37)

$$\mathcal{T}^{mn}_{\text{Maxwell}} = -\frac{1}{4\pi c}\sqrt{\mathrm{g}}\bigl ( F^m{}_l F^{nl}- \frac{1}{4}g^{mn}F_{kl}F^{kl} \bigr )\ .$$ (7.47)

Diese elektromagnetische Energie-Impulstensordichte stimmt für den flachen Raum mit (5.24) überein.