geometrische Optik

Elektromagnetische Wellen verhalten sich im Gravitationsfeld nicht universell. So wie am Spalt die Beugungserscheinungen von der Wellenlänge abhängen, so sind die Einflüsse ungleichmäßiger Gravitation auf elektromagnetische Wellen verschieden, wenn die Wellen verschiedene Wellenlängen haben. Universell ist das Verhalten elektromagnetischer Wellen nur in dem Grenzfall, in dem die Wellenlänge vernachlässigbar klein wird gegenüber den Abmessungen, auf denen sich die Metrik $g_{mn}$ ändert.

Wir untersuchen diesen Grenzfall verschwindender Wellenlängen als Grenzwert $\varepsilon\rightarrow 0$ des Ansatzes

$$A_m(x,\varepsilon)=\Re\, a_m(x,\varepsilon)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\displaystyle{\frac{\theta(x)}{\varepsilon}}}\ ,\quad \theta(x)=\theta^*(x)$$ (7.48)

für das elektromagnetische Potential $A_m(x)$. Diesen Ansatz findet man unter den Namen Eikonalnäherung, Wentzel-Kramers-Brillouin-Näherung oder Geometrische Optik in verschiedenen Bereichen der Theoretischen Physik. Hier unterstellt er, daß es möglich ist, für kurze Wellenlängen eine Schar von Lösungen der Maxwellgleichung mit einer reellen Funktion, der Phase $\theta(x)$, und mit komplexen Amplituden $a_m(x,\varepsilon)$ zu finden, die nur wenig von der Wellenlänge abhängen, so daß sie bei $\varepsilon=0$ stetig sind und durch eine Entwicklung in $\varepsilon$ angenähert werden können

$$a_{m}(x,\varepsilon)=\sum_{j=0}^N a_{m,j}(x)\varepsilon^j + _{m,N}(\varepsilon,x)\ ,\quad \lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \varepsilon^{-N} _{m,N}(\varepsilon,x)=0\ .$$ (7.49)

Dabei steht o$_{m,N}(\varepsilon,x)$ für Restterme, die schneller als $\varepsilon^N$ verschwinden. Im flachen Raum löst der Eikonalansatz mit $\theta(x)=k\cdot x$ und einer konstanten Amplitude die Wellengleichung.

Die Flächen, auf denen die reelle Funktion $\theta$ konstant ist, sind für $\varepsilon\rightarrow 0$ die Wellenfronten konstanter Phase, denn die Phasen $\alpha_m(x,\varepsilon)$ der Amplituden $a_m = r_m \mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha_m}$ sind nach Annahme entwickelbar und die Fronten gleicher Phase ${\theta}+{\varepsilon}\alpha_m=$konst sind für $\varepsilon\rightarrow 0$ für alle vier Komponenten des Viererpotentials gemeinsam durch $\theta={\text{konst}}$ gegeben. Demnach ist

$$k_m=\partial_m \theta(x)$$ (7.50)

der allen vier Potentialen gemeinsame Wellenvektor. Er steht im Grenzfall verschwindender Wellenlänge senkrecht auf der Wellenfront.

Der Wellenvektor ist tangential an die Weltlinie $x^m(\lambda)$, den Lichtstrahl, den er durch die Differentialgleichung

$$\frac{dx^m}{d\lambda}= g^{mn}k_n$$ (7.51)

Zur Auswertung des Eikonalansatzes bemerken wir, daß eine komplexe Funktion bei $\varepsilon=0$ verschwindet, $f(0)=0$, falls sie dort stetig ist und falls im offenen Intervall $0<\varepsilon <\delta$ der Realteil

$$\Re \bigl ( f(\varepsilon)\, \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{\varepsilon}}\bigr )=0$$ (7.52)

verschwindet. Dies gilt, weil sich $f(\varepsilon)$ mit einem Restglied als $f(\varepsilon)=f(0) +$   o$(\varepsilon)$ schreiben läßt, wobei $\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}$   o$(\varepsilon)=0$ ist. Die Annahme, $f(0) = \vert f(0)\vert \mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}$ sei nicht Null, führt zum Widerspruch, denn dann gibt es positive $\varepsilon$, die so klein sind, daß $\vert$o$(\varepsilon)\vert < \vert f(0)\vert$ gilt, für die aber $\cos(\frac{1}{\varepsilon}+\alpha)=1$ ist. Für solche $\varepsilon$ kann (7.52) nicht gelten

$$\vert f(0)\vert\cos(\frac{1}{\varepsilon}+\alpha) + \Re\,\bigl( (\varepsilon)\,\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{\varepsilon}}\bigr )\ne 0\ ,$$ (7.53)

denn der Betrag des zweiten Terms ist kleiner als der erste Term.

Die Maxwellgleichungen (7.44), multipliziert mit $\varepsilon^2$, besagen für (7.48)

$$\begin{aligned}0= \Re \; \mathrm{e}^{-\mathrm{i}{\frac{\theta(x... ...m + \mathrm{i}\varepsilon D^m a_m\bigr ) \bigr ]\ . \end{aligned}$$

Hieraus folgt, zumindest wo $\theta(x)$ nicht in einer Umgebung verschwindet,

$$k^m k_m a_{n_{\vert _{\varepsilon=0}}} - k_n k^m a_{m_{\vert _{\varepsilon=0}}} = 0\ .$$ (7.55)

Entweder ist bei $\varepsilon=0$ die Amplitude $a_n=k_n b$ proportional zu $k_n$, dann sind $k_n$ und $a_n$ nicht weiter eingeschränkt. Allerdings läßt sich solch eine Amplitude wegeichen, $A^\prime_m = A_m + \partial_m \Re \,\mathrm{i}\varepsilon \mathrm{e}^{\mathrm{i}{\frac{\theta}{\varepsilon}}} b$ verschwindet bei $\varepsilon=0$.

Oder es ist bei $\varepsilon=0$ die Amplitude $a_n$ nicht proportional zu $k_n$. In diesem Fall, den wir im weiteren betrachten, ist $k^m$ lichtartig und $a_m$ transversal

$$k^m k_m=0 \quad k^m a_{m_{\vert _{\varepsilon=0}}} = 0 .$$ (7.56)

Auf den Lichtstrahlen $x(\lambda)$ ist daher die Phase $\theta$ konstant

$$\frac{d}{d\lambda}\theta(x(\lambda))=\frac{d x^m}{d\lambda}\partial_m \theta = k^m k_m = 0\ .$$ (7.57)

Weil $k_m$ ein Gradient ist und weil das Christoffelsymbol symmetrisch unter Permutation der unteren Indizes ist, ist auch $D_n k_m$ symmetrisch

$$D_n k_m = (\partial_n \partial_m \theta - \Gamma_{nm}{}^l k_l) = D_m k_n \ .$$ (7.58)

Daher und weil die Länge des Wellenvektors konstant ist (7.56), verschwindet die kovariante Ableitung des Tangentialvektors $k^n$ längs des Lichtstrahls

$$0= \frac{1}{2} D_n (k^mk_m) = k^m D_n k_m = k^m D_m k_n = \frac{dx^m}{d\lambda }D_m k_n\ .$$ (7.59)

Lichtstrahlen sind lichtartige geodätische Weltlinien^7.3des torsionsfreien, metrikverträglichen Paralleltransports

$$0= \frac{dx^m}{d\lambda}D_m k^n = \frac{d k^n}{d \lambda}+ \frac{... ...^n}{d\lambda^2} + \Gamma_{kl}{}^n \frac{dx^k}{d\lambda}\frac{dx^l}{d\lambda}\ .$$ (7.60)

Die Lichtstrahlen und die Phase $\theta$ sind vollständig festgelegt, wenn $\theta$ zu einer Anfangszeit $x^0=0$ vorgegeben wird und zu dieser Zeit nirgends extremal ist. Damit sind die räumlichen Komponenten $k_i = \partial_i \theta \ne 0$ gegeben, und $k^0$ folgt aus $k^m k_m=0$

$$k^0 = \sqrt{(g^{0i}g^{0j}- g^{00}g^{ij})k_ik_j}\ .$$ (7.61)

Folglich liegen die Tangentialvektoren $k^m$ der Lichtstrahlen zur Zeit $x^0=0$ fest und es gibt, wenn alle Ereignisse $x^0=0$ zueinander raumartig sind, durch jeden Punkt genau einen Lichtstrahl (7.60) mit diesem Tangentialvektor, der den Anfangspunkt zur Anfangszeit durchläuft. Auf dem Lichtstrahl ist die Phase $\theta$ konstant und durch ihren Wert am Anfangspunkt gegeben.

In der Lorenzeichung, $k^ma_m + \mathrm{i}\varepsilon D^m a_m= 0$, werden die Amplituden $a_n$ wegen (7.54) und wegen $k^2 = 0$ längs der Lichtstrahlen $x(\lambda)$ gemäß

$$2 k^m D_m a_{n}+ (D_m k^m) a_n\, +\mathrm{i}\varepsilon \bigl ( D^mD_m a_n + R_n{}^k a_k \bigr )=0$$ (7.62)

transportiert. Ihre Entwicklungskoeffizienten $a_{m,j}(x)$ für $j=0,1,\dots,N$ (7.49) genügen also dem linear inhomogenen Differentialgleichungssystem

$$2 \frac{d}{d\lambda} a_{n,j}(x(\lambda)) + f_n{}^m (\lambda)\, a_{m,j}(x(\lambda)) = b_{n,j}(\lambda)$$ (7.63)

mit Funktionen $f_n{}^m(\lambda)$ und $b_{m,j}(\lambda)$

$$\begin{aligned}f_n{}^m(\lambda)&=(-2 k^l \Gamma_{ln}{}^m+ \delt... ...j-1} )_{\vert _{x(\lambda)}}\ ,\quad a_{n,-1}=0 \ . \end{aligned}$$

Die Lösung $a_{m,j}(x(\lambda))$ existiert und ist nach Vorgabe der Anfangswerte $a_{m,j}(x(0))$ eindeutig. Demnach definieren das Gleichungssystem und die Anfangsbedingungen rekursiv die Koeffizientenfunktionen $a_{m,j}(x)$.

Aus (7.62) folgt, daß im Vakuum die Photonenzahl lokal erhalten ist. Denn multiplizieren wir mit $a^{*\, n}$ und addieren wir die komplex konjugierte Gleichung, so folgt

$$0= D_m ( k^m a^n a^{*}_n)\ .$$ (7.65)

Jeder kovariant erhaltene Strom $j^m$ gehört zu einer Stromdichte $\sqrt{\mathrm{g}}j^m$, die eine Kontinuitätsgleichung erfüllt (H.15). Im vorliegenden Fall ist die Nullkomponente der erhaltenen Stromdichte $-\frac{1}{8\pi \hbar \varepsilon}\sqrt{\mathrm{g}}\,k^0a^na^{*}_n$ die Photonendichte, denn die Energiedichte $\mathcal{T}^{00}$ (7.47) des elektromagnetischen Feldes ist $-\frac{1}{8\pi\epsilon^2}\sqrt{\mathrm{g}}\,k^0k^0a^na^{*}_n$ , also einen Faktor $\hbar \omega=\hbar k^0/\varepsilon$ größer. Wenn die Energiedichte von Teilchen der Energie $\hbar \omega$ herrührt, dann ist $-\frac{1}{8\pi \hbar \varepsilon}\sqrt{\mathrm{g}}\,k^0a^na^{*}_n$ die Dichte dieser Teilchen.

Der Erhaltungssatz der Photonenzahl besagt, daß sich Photonen geometrisch so verdünnen, wie die Lichtstrahlen auseinander laufen. Dies ist für lokale Energieerhaltung notwendig. Weltlinien von Photonen beginnen nicht im Vakuum und enden nicht im Vakuum, sie durchlaufen es.

Die Polarisationsrichtung wird im Grenzfall verschwindender Wellenlängen, also für $\varepsilon=0$, längs der Lichtstrahlen parallel transportiert. Schreiben wir nämlich in (7.62) die Amplitude $a_m$ als komplexen Einheitsvektor $e_m$, die Polarisationsrichtung, mal Betrag $\vert a\vert=\sqrt{-a^na_n^*}$, $a_m=\vert a\vert e_m$, und berücksichtigen wir (7.65), so erhalten wir für $\varepsilon=0$

$$\vert a\vert k^mD_m e_n = 0\ .$$ (7.66)

Wie wir gleich zeigen, hat die Bewegungsgleichung (7.62)

$$(2 k^m D_m + (D_m k^m) )(k^n a_{n,j} + \mathrm{i}D^n a_{n,j-1}) =\mathrm{i}\, D^m D_m \bigl (k^n a_{n,j-1} + \mathrm{i}D^n a_{n,j-2}\bigr )$$ (7.67)

zur Folge. Demnach^7.4 gilt die Lorenzeichung

$$k^n a_{n,j} + \mathrm{i}D^n a_{n,j-1}= 0$$ (7.68)

überall, wenn sie zur Anfangszeit $x^0=0$ erfüllt ist, und wenn sie für $j-1$ überall erfüllt ist. Denn dann erfüllt die Größe $(k^n a_{n,j} + \mathrm{i}D^n a_{n,j-1})$ längs der Lichtstrahlen eine linear homogene Differentialgleichung und verschwindet zur Anfangszeit. Sie verschwindet daher überall.

Wir bestätigen (7.67) mit der Geodätengleichung $k^m D_m k^n = 0$ und (7.62)

$$\begin{aligned}&(2 k^m D_m + (D_m k^m) )(k^n a_{n,j} + \mathrm{... ...n, D^m D_m] a_{n,j-2}+ D^n (R_{n}{}^l a_{l,j-2})\ . \end{aligned}$$

Die vorletzte Zeile verschwindet wegen $D_m k_n = D_n k_m$ (7.58), $R_{mn}=R_{nm}$ (7.43) und $[D_m,D_n]v^l = R_{mnk}{}^l v^k$ (C.54). Ebenso verschwindet die Zeile mit den $a_{n,j-2}\,$-Termen. Damit ist (7.67) mit etwas Rechnung gezeigt.

Physikalisch bewegt sich die Eikonalnäherung für Licht zwischen Skylla und Charybdis. Der Grenzfall $\varepsilon\rightarrow 0$ führt zwar dazu, daß Lichtstrahlen sich universell bewegen. Wir haben aber die Gravitation vernachlässigt, die der Lichtstrahl durch seinen Energie-Impulstensor erzeugt. Im Grenzfall ist das sicher falsch, denn die Energiedichte divergiert mit $\frac{1}{\varepsilon^2}$.

Dies schließt unsere Diskussion der Geodätenhypothese ab. Die Feldgleichungen erlauben herzuleiten, daß sich Testteilchen und Lichtstrahlen so verhalten, wie wir das für unsere geometrischen Konstruktionen unterstellt haben. Aus rein geometrischen Gründen kann man zunächst nicht ausschließen, daß Paralleltransport mit Torsion einhergeht oder metrikunverträglich ist. Formuliert man allerdings die Bewegungsgleichungen der Elektrodynamik und der Materie als Variationsprinzip eines Funktionals, das unter Eichtransformationen und Koordinatentransformationen invariant ist, so sind solche allgemeineren Geometrien nicht bei den Weltlinien von Testteilchen und Lichtpulsen realisiert.