Gleichortig und Gleichzeitig

Ein Reisender, der im Zug an einem festen Platz sitzt, durchläuft eine Menge von Ereignissen. Bezogen auf einen Punkt im Zug finden alle Ereignisse auf der Weltlinie des Reisenden an einem unveränderlichen Ort nacheinander statt. Für einen Beobachter am Bahndamm hingegen durchläuft der Reisende unterschiedliche Orte. Gleichortigkeit, die Eigenschaft verschiedener Ereignisse, am gleichen Ort stattzufinden, hängt ebenso vom Beobachter ab, wie in räumlicher Geometrie die Antwort auf die Frage, ob zwei Punkte hintereinander liegen.

Ebensowenig liegt bei einem gegebenem Ereignis $E$ fest, welche Ereignisse zu $E$ gleichzeitig sind, denn in der Raumzeit gibt es keine meßbare Weltzeit. Die Menge der Ereignisse, die gleichzeitig zu $E$ sind, steht erst fest, wenn man den Beobachter angibt, für den die Ereignisse gleichzeitig sind. Gleichortigkeit oder Gleichzeitigkeit sind also keine geometrische Eigenschaft, die Paaren von Ereignissen unabhängig von einem Beobachter zukommt. Dies verdeutlichen wir mit den folgenden Raumzeitdiagrammen.

Die Diagramme zeigen die Weltlinien von Beobachtern $\mathcal{B}$ und $\mathcal{B}^\prime$, die Lichtstrahlen zum Ereignis $E$ aussenden und wieder empfangen und die je eine Uhr mit sich führen. Mit der Zeit, die die mitgeführte Uhr anzeigt, bezeichnen wir die Ereignisse auf der Weltlinie des jeweiligen Beobachters.

Wenn die Beobachter Licht aussenden, mögen ihre Uhren die Zeiten $T_-$ und $T_-^\prime$ anzeigen. Wenn das zurückgestreute Licht eintrifft, sei es auf den Uhren $T_+$ und $T_+^\prime$.

Die Differenz von Sende- und Empfangszeit $T_+ - T_- = t_{\text{hin}}+t_{\text{her}}= 2\, t_{\text{Laufzeit}}$ ist die Zeit, die der Lichtstrahl vom jeweiligen Beobachter zum Ereignis hin und zurück braucht,

Abbildung 1.4: relativ gleichzeitig

also die doppelte Lichtlaufzeit und definitionsgemäß die doppelte Entfernung $r$ vom Ereignis $E$ zum Beobachter,

$$r=(T_+-T_-)/2\ .$$ (1.4)

Da es keine anderweitig meßbare Weltzeit gibt, die dem Ereignis $E$ an sich zukäme, verwendet jeder Beobachter als Zeit $t$, zu der ein Ereignis stattgefunden hat, den Mittelwert von Sende- und Empfangszeit,

$$t= (T_+ + T_-)/2\ .$$ (1.5)

Die Zeit $t$ liegt um die Lichtlaufzeit nach $T_-$ und vor $T_+$. Gleichzeitig zu $E$ ist das Ereignis $T$ auf der Weltlinie des Beobachters, das mitten zwischen $T_-$ und $T_+$ liegt.

Umgekehrt gilt - und rechtfertigt nachträglich die Bezeichnung -

$$T_+ = t+r\ ,\quad T_-=t-r\ .$$ (1.6)

Geometrisch konstruiert man in einem zweidimensionalen Raumzeitdiagramm bei gegebener Weltlinie des Beobachters $\mathcal B$ die zu einem Ereignis $E$ gleichzeitigen Ereignisse als

Abbildung: gleichortig und gleichzeitig im Lichteck

Diagonale in einem Rechteck von Lichtstrahlen, das wir Lichteck nennen. Dazu zeichnen wir Lichtstrahlen durch $E$ bis zu den Schnittpunkten $T_-$ und $T_+$ mit der Weltlinie des Beobachters [7].

Die von $T_-$ auslaufenden Lichtstrahlen bilden mit den bei $T_+$ einlaufenden Lichtstrahlen ein Lichteck $T_- E T_+ E^\prime$. Da für die Ereignisse $E$ und $E^\prime$ die Zeiten $T_-$ und $T_+$ übereinstimmen, finden $E$ und $E^\prime$ für diesen Beobachter gleichzeitig, in gleicher Entfernung und in entgegengesetzter Richtung statt. Wie man durch Vergrößern und Verkleinern des Lichtecks bei festgehaltenem Schnittpunkt der Diagonalen bestätigt, sind alle Ereignisse auf der Geraden $E^\prime E$ für den Beobachter gleichzeitig.

Wie man durch Verschieben des Lichtecks $T_- E T_+ E^\prime$ längs der Weltlinie des Beobachters sieht, finden die Ereignisse, die auf einer Parallelen zu seiner Weltlinie liegen, für ihn in gleicher Entfernung und mit gleicher Richtung der Lichtstrahlen, also am gleichen Ort $\vec{x}$ statt. Ebenso sind für ihn die Ereignisse, die auf einer Parallelen zur Geraden durch $E^\prime$ und $E$ liegen, einander gleichzeitig.

Die Weltlinie des Beobachters und die für ihn zu einer Zeit stattfindenden Ereignisse bilden in Raumzeitdiagrammen die Diagonalen eines Lichtecks. Die eine Diagonale besteht aus gleichortigen Ereignissen, die andere aus gleichzeitigen.

Gegeneinander bewegte Beobachter stimmen nicht darin überein, welche nacheinander liegenden Ereignisse am gleichen Ort stattfinden. Denn die Weltlinien gegeneinander bewegter Beobachter sind nicht parallel. Da dann auch die anderen Diagonalen in den Lichtecken beider Beobachter nicht einander parallel sind, stimmen gegeneinander bewegte Beobachter auch nach Berücksichtigung von Laufzeiteffekten nicht darin überein, welche verschiedenen Ereignisse zur gleichen Zeit stattfinden.