Einstein-Hilbert-Wirkung

Die Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie besagen, daß die Wirkung

$$W[g,\phi]=W_{\text{Metrik}}[g]+W_{\text{Materie}}[g,\phi]\ ,$$ (8.1)

bei der $g$ die Metrik und $\phi$ alle weiteren Felder bezeichne, für physikalische Felder stationär ist unter allen Variationen der Metrik, die außerhalb beschränkter Gebiete verschwinden.

Dabei ist die Wirkung lokal, also ein Integral über eine Lagrangedichte, und invariant unter Koordinatentransformationen. Diese Forderung beschränkt in Raumzeiten gerader Dimension die möglichen Lagrangedichten $\mathscr{L}_{\text{Metrik}}$ darauf, ein Produkt des Volumenelements $\sqrt{\mathrm{g}}$ (H.13) mit einem skalaren Feld zu sein, das aus Komponenten des Riemanntensors und seinen kovarianten Ableitungen besteht [48]. Falls die zugehörigen Bewegungsgleichungen zudem zweiter Ableitungsordnung sein sollen, so ist in der vierdimensionalen Raumzeit dieses skalare Feld eine Linearkombination des Krümmungsskalars

$$R=g^{kl}R_{kml}{}^m\ ,$$ (8.2)

der zum Riemanntensor der metrikverträglichen, torsionsfreien Konnektion (C.106) gehört, und einer Konstante $\Lambda$, die kosmologische Konstante heißt

$$W_{\text{Metrik}}= \frac{1}{2\kappa} \int\! d^4 x\,\sqrt{\mathrm{g}}\, (R-2\Lambda)\ .$$ (8.3)

Dies ist die Einstein-Hilbert-Wirkung mit kosmologischer Konstante. Wie wir sehen werden (8.100), ist der Vorfaktor $\kappa$ durch die Newtonsche Gravitationskonstante $G$ gegeben.

Der Integrand ist eine Dichte: wertet man ihn für eine transformierte Metrik

$$g_{mn}(x)= \frac{\partial x^{\prime\,k}}{\partial x^m}\frac{\partial x^{\prime\,l}}{\partial x^n} g_{kl}^\prime(x^\prime(x))$$ (8.4)

aus, wobei $x^\prime (x)$ eine Koordinatentransformation bezeichnet, so gilt

$$\sqrt{\mathrm{g}}\,R(x) = \bigl \vert \frac{\partial x^{\prime}}{\partial x }\bigr \vert \sqrt{\mathrm{g}^\prime}\, R^\prime(x^\prime(x))\ ,$$ (8.5)

denn für das Volumenelement $\sqrt{\mathrm{g}}$ gilt der Determinantenproduktsatz und $R$ ist ein Skalarfeld (A.79). Nach Integralsubstitutionssatz ist demnach die Wirkung der Metrik $g_{mn}(x)$ und der transformierten Metrik $g^\prime_{mn}(x)$ gleich

$$\int_{x\text{-Bereich}}\! d^4 x \sqrt{\mathrm{g}}(R-2\Lambda) = \... ...nt_{x\text{-Bereich}}\! d^4 x \sqrt{\mathrm{g}^\prime}(R^\prime(x)-2\Lambda)\ ,$$ (8.6)

falls die $x$- und $x^\prime$-Bereiche übereinstimmen. Kürzer gesagt ist die Wirkung invariant unter allgemeinen Koordinatentransformationen. Falls die Wirkung als Integral über eine Mannigfaltigkeit $\mathcal{M}$ definiert ist, ist die Wirkung unter Transformationen der Metrik invariant, die zu invertierbaren Selbstabbildungen von $\mathcal{M}$ gehören.