Einsteingleichungen

Zur Bestimmung der Bewegungsgleichungen trennen wir die Änderung der Lagrangedichte bei Änderung der Metrik in drei Anteile, die von der Änderung des Volumenelementes $\sqrt{\mathrm{g}}$, der inversen Metrik $g^{kl}$ und des Riccitensors $R_{kl}=R_{kml}{}^m$ stammen

$$\delta \bigl ( \sqrt{\mathrm{g}}(g^{kl} R_{kl}-2\Lambda )\bigr ) ... ...t{\mathrm{g}}(\delta g^{kl})R_{kl}+ \sqrt{\mathrm{g}}g^{kl} (\delta R_{kl}) \ .$$ (8.7)

Wie in Anhang H gezeigt,^8.1 gilt $\delta (\sqrt{\mathrm{g}})=-\frac{1}{2}\sqrt{\mathrm{g}}g_{kl}\delta g^{kl}$ und folglich

$$(\delta \sqrt{\mathrm{g}})(R-2\Lambda) + \sqrt{\mathrm{g}}(\delta... ...thrm{g}}(\delta g^{kl})\bigl (R_{kl}-\frac{1}{2}g_{kl}R+g_{kl}\Lambda\bigr )\ .$$ (8.8)

Der Term $\sqrt{\mathrm{g}}g^{kl} \delta R_{kml}{}^m$ trägt zur Änderung der Lagrangedichte nur Ableitungsterme bei. Denn der Riemanntensor $R_{klm}{}^n(\Gamma)$ (C.76) ändert sich bei Änderung der Konnektion bis auf Terme, die quadratisch in $\delta\Gamma$ sind, um

$$\delta\Gamma$$

$$R_{klm}{}^n(\Gamma+\delta \Gamma) - R_{klm}{}^n(\Gamma) = ( \partial_k \delta \Gamma_{lm}{}^n -\Gamma_{km}{}^r\delta\Gamma_... ...ma_{lm}{}^r\bigr ) - \bigl( k \leftrightarrow l \bigr ) \ ,\delta R_{klm}{}^n = D_k \bigl (\delta \Gamma_{lm}{}^n \bigr ) - D_l \bigl (\delta \Gamma_{km}{}^n \bigr ) + T_{kl}{}^r\delta \Gamma_{rm}{}^n\ .$$ (8.9)

Dabei ist die kovariante Ableitung $D_k$ von $\delta\Gamma$ mit der Konnektion $\Gamma$ gebildet. Im vorliegenden Fall ist diese kovariante Ableitung metrikkompatibel und torsionsfrei, und wegen (H.15) gilt

$$\begin{aligned}\sqrt{\mathrm{g}}g^{kl}\delta R_{kml}{}^m &= \sq... ...}^m - g^{rs}\delta\Gamma_{rs}{}^k\bigr ) \bigr )\ . \end{aligned}$$

Die zugehörige Änderung der Wirkung verschwindet, da das Integral über diese Ableitungsterme Oberflächenterme ergibt, und da nach Voraussetzung nur solche Änderungen der Metrik $g_{kl}$ betrachtet werden, die außerhalb eines beschränkten Gebietes, insbesondere also auf dem Rand des Integrationsbereiches, verschwinden.

Daher ist die Variationsableitung der Einstein-Hilbert-Wirkung

$$\frac{\delta W_{\text{Metrik}}}{\delta g^{kl}}= \frac{1}{2\kappa}\sqrt{\mathrm{g}}\bigl(R_{kl}-\frac{1}{2}g_{kl}R + g_{kl}\Lambda\bigr )\ .$$ (8.11)

Die Variationsableitung der Materiewirkung ist bis auf den Faktor $\frac{1}{2}$ die Energie-Impulstensordichte (7.4)

$$\frac{\delta W_{\text{Materie}}}{\delta g^{kl}(x)}= \frac{1}{2}\mathcal{T}_{kl}\ .$$ (8.12)

Sie stimmt im flachen Raum aufgrund der Bewegungsgleichungen der Materie bis auf sogenannte Verbesserungsterme mit dem Energie-Impulstensor überein, der die Ströme enthält, die zur Invarianz unter räumlichen und zeitlichen Translationen gehören. Diese Identifizierung (G.55) der Variationsableitung der Materiewirkung als Energie-Impulstensordichte ist eine Folge der Invarianz der Materiewirkung unter Wechsel des Koordinatensystems und gilt unabhängig von Besonderheiten dieser oder jener Materiewirkung. Spaltet man von $\mathcal{T}_{kl}=\sqrt{\mathrm{g}}\,T_{kl}$ das Volumenelement ab

$$T_{kl}= \frac{2}{\sqrt{\mathrm{g}}}\frac{\delta W_{\text{Materie}}}{\delta g^{kl}}\ ,$$ (8.13)

so erhält man mit $T_{kl}$ die Komponenten des Energie-Impulstensors.

Bei Änderung der Metrik ändert sich also die Wirkung $W_{\text{Metrik}}+W_{\text{Materie}}$ um

$$\delta W = \frac{1}{2\kappa} \int\! d^4 x\, \sqrt{\mathrm{g}}\,\d... ... \bigl ( R_{kl}- \frac{1}{2}g_{kl}R + g_{kl}\Lambda + \kappa {T}_{kl}\bigr )\ .$$ (8.14)

Sie ist genau dann stationär, wenn die Einsteingleichungen

$$R_{kl}- \frac{1}{2}g_{kl}R = - (\kappa T_{kl}+\Lambda g_{kl})$$ (8.15)

gelten.

Der Tensor

$$G_{kl}=R_{kl}-\frac{1}{2}g_{kl}R\ ,$$ (8.16)

der sich aus der Variationsableitung der Einstein-Hilbert-Wirkung ergibt und auf der linken Seite der Einsteingleichungen auftritt, heißt Einsteintensor. Da er die Variationsableitung einer Wirkung ist, die invariant unter Koordinatentransformationen ist, erfüllt er die Noetheridentität (G.52)

$$D^k G_{kl}=0\ ,$$ (8.17)

wie man mit (C.62) im Spezialfall verschwindender Torsion bestätigt.

Materiefelder nehmen bei der einfachsten Lösung ihrer Bewegungsgleichungen, im Vakuum, den konstanten Wert an, für den ihre potentielle Energiedichte $V$ minimal wird. Entwickelt man in der Lagrangedichte der Materie die potentielle Energiedichte um ihr Minimum, so trägt diese Vakuumenergiedichte zur Lagrangedichte mit $- \sqrt{\mathrm{g}}\,V_{\text{min}}$ auf gleiche Art bei wie die kosmologische Konstante $-\frac{\Lambda}{\kappa}\sqrt{\mathrm{g}}$ und kann mit ihr zusammengefaßt werden. Die Einstein-Gleichungen lauten dann kürzer

$$R_{kl}- \frac{1}{2}g_{kl}R = - \kappa T_{kl}\ ,$$ (8.18)

allerdings ist dieser Energie-Impulstensor im Vakuum nicht Null, $\kappa T_{kl\,\text{Vakuum}}=\Lambda g_{kl}$.

Eine kosmologische Konstante $\Lambda=\kappa V_{\text{min}}$ tritt also auf natürliche Art in jedem Materiemodell auf. Sie ist in vielen Modellen ein unbestimmter Parameter, dessen Größe den Beobachtungen entnommen werden muß.

Die kosmologische Konstante war von Einstein eingeführt worden, um ein statisches, kosmologisches Modell in Übereinstimmung mit den damaligen astronomischen Befunden zu konstruieren. Daß er seine ursprünglichen Gleichungen nicht ernst genug genommen und daraus die Expansion des Universums vorausgesagt hatte, bezeichnete Einstein später nach Hubbles Beobachtungen als seine größte Eselei. Die heutigen Beobachtungen zeigen durch die Rotverschiebung der Galaxien, daß das Universum expandiert und nicht statisch ist, allerdings trägt zur Expansion die kosmologische Konstante, die Vakuumenergiedichte, stärker als alle anderen Energieformen bei.