Kugelsymmetrischer Einsteintensor

Ist die Metrik invariant unter Drehungen, dann hat sie in der Umgebung eines Punktes, in dem $\partial_r$ raumartig ist, die Form (F.22)

$$g_{mn}dx^m dx^n = \mathrm{e}^{\nu(t,r)} dt^2 -\mathrm{e}^{\mu(t,r)}dr^2 - r^2\bigl ( d\theta^2 + \sin^2\theta d\varphi^2\bigr )\ .$$ (8.19)

Um zu klären, was die Einsteingleichungen besagen, berechnen wir die Christoffelsymbole und daraus den Riemanntensor. Die Christoffelsymbole (C.106) liest man einfach aus den Euler-Lagrange-Gleichungen der Lagrangefunktion $\mathscr{L}_{\text{Bahn}}= \frac{1}{2}g_{mn}\frac{dx^m}{d\lambda}\frac{dx^n}{d\lambda}$ ab (6.39)

$$\frac{\hat{\partial} \mathscr{L}_{\text{Bahn}}}{\hat{\partial}x^l... ...ambda^2} + \Gamma_{mn}{}^k \frac{dx^m}{d\lambda}\frac{dx^n}{d\lambda}\bigr )\ ,$$ (8.20)

$$\mathscr{L}_{\text{Bahn}}= \frac{1}{2}\bigl ( \mathrm{e}^{\nu(t,r... ...r )^2 + \sin^2\theta \bigl (\frac{d\varphi}{d\lambda}\bigr )^2\bigr )\bigr )\ .$$ (8.21)

Variiert man zum Beispiel $t(\lambda)$, so ändert sich die Lagrangefunktion in erster Ordnung um

$$\delta \mathscr{L}_{\text{Bahn}} = \frac{1}{2} \delta t \frac{\pa... ...artial \mu}{\partial t} \mathrm{e}^{\mu} \bigl (\frac{dr}{d\lambda}\bigr )^2\ .$$

Die Ableitung von $\delta t$ faßt man zu einer vollständigen Ableitung zusammen

$$\mathrm{e}^{\nu}\frac{d\delta t}{d\lambda}\frac{dt}{d\lambda}= \f... ...\frac{\partial \nu}{\partial r}\frac{dr}{d\lambda}\frac{dt}{d\lambda}\bigr )\ .$$

Demnach ist bis auf eine vollständige Ableitung

$$\begin{split}\delta \mathscr{L}_{\text{Bahn}} &= - \mathrm{e}... ...rac{dx^m}{d\lambda} \frac{dx^n}{d\lambda}\bigl )\ . \end{split}$$

Hieraus entnehmen wir die Christoffelsymbole $\Gamma_{mn}{}^0$. Ebenso erhält man $\Gamma_{mn}{}^k$ für $k=1,2,3$ durch Variation von $r$, $\theta$ und $\varphi$. Statt die Komponenten durchzunumerieren, benennen wir sie im folgenden mit den Koordinaten: wir schreiben beispielsweise $\Gamma_{tt}{}^{r}$ statt $\Gamma_{00}{}^{1}$. Die nichtverschwindenden Komponenten der Konnektion sind

$$\begin{aligned}\Gamma_{tt}{}^t &= \frac{1}{2}\dot{\nu} & \Gamma... ...\Gamma_{\varphi \theta }{}^\varphi =\cot \theta \ . \end{aligned}$$

Dabei bezeichnet der Punkt die partielle Ableitung nach $t$ und der Strich die Ableitung nach $r$

$$\frac{\partial}{\partial t}= \dot{{}}\ ,\quad \frac{\partial}{\partial r}= {{}^\prime}\ .$$ (8.23)

Zur Berechnung des Riemanntensors kombiniert man die Komponenten der Konnektion zu einer matrixwertigen Differentialform

$$\mathbf{\Gamma}_m{}^n=dx^k \Gamma_{km}{}^n\ .$$ (8.24)

$$\begin{gather*}\begin{aligned}\mathbf{\Gamma}_t{}^t &= \frac{1}{2}\bigl (dt\, \d... ...hi {}^\varphi &= dr\, \frac{1}{r}+ d\theta \cot\theta \end{aligned}\end{gather*}$$ (8.25)

Die Komponenten des Riemanntensors sind die Komponenten der Zweiform (A.34, A.50),

$$\mathbf{R}= d\, \mathbf{\Gamma}_m{}^n - \mathbf{\Gamma}_m{}^r \mathbf{\Gamma}_r{}^n\ ,$$ (8.26)

in der Differentiale antikommutieren, $dx^kdx^l=-dx^ldx^k$ (A.37). Die Ableitung $d$ ist die äußere Ableitung $d: f\mapsto df =dx^m \partial_m f$ (A.56). Sie ist nilpotent

$$d^2= dx^m dx^n\, \partial_m\partial_n=0\ ,$$ (8.27)

weil die Doppelsumme über ein symmetrisches und ein antisymmetrisches Indexpaar verschwindet (5.17) und weil vereinbarungsgemäß $d(dx^m)=0$ gilt.

Mit diesen Rechenregeln bestätigt man leicht, daß die Komponenten des Riemanntensors (C.76) die Komponenten der Zweiform (8.27) sind

$$\begin{split}\mathbf{R}_m{}^n &= d\, \mathbf{\Gamma}_m{}^n - ... ...}^n\bigr )\\ &= dx^k dx^l \frac{1}{2}R_{klm}{}^n\ . \end{split}$$ (8.28)

Der Riemanntensor hat die Matrixelemente

$$\begin{aligned}\mathbf{R}_t{}^t &= 0 \ ,\\ \mathbf{R}_r{}^t &= ... ...}\bigr )\ ,\\ \mathbf{R}_\varphi {}^\varphi &= 0\ . \end{aligned}$$

Zur Kontrolle der Rechnung überprüft man leicht, daß der Riemanntensor antisymmetrisch im zweiten Indexpaar ist, $R_{klm}{}^sg_{sn}=- R_{kln}{}^sg_{sm}$ (C.25), und die Bianchiidentität $R_{klm}{}^n +R_{lmk}{}^n+R_{mkl}{}^n=0$ (C.60) erfüllt.

Aus dem Riemanntensor ergeben sich die folgenden nichtverschwindenden Komponenten des Riccitensor $R_{kl}=R_{kml}{}^m$

$$\begin{aligned}R_{tt}=& \bigl( \frac{1}{2}\ddot{\mu}+\frac{1}{4... ...frac{r}{2}(\mu^{\,\prime}-\nu^{\,\prime})\bigr )\ , \end{aligned}$$

der Krümmungsskalar $R=g^{kl}R_{kl}$,

$$\begin{split}R = & \,\mathrm{e}^{-\nu}\bigl(\ddot{\mu}+\frac{... ...rac{r}{2}(\mu^{\,\prime}-\nu^{\,\prime}) \bigr )\ , \end{split}$$ (8.31)

und der Einsteintensor $G_{mn}=R_{mn}-\frac{1}{2}g_{mn}R$, $G_{mn}=G_{nm}$. Er hat in der Indexstellung $G^m{}_n = g^{mk}G_{kn}$ folgende nichtverschwindende Komponenten

$$\begin{aligned}G^t{}_t =& \frac{1}{r^2}\bigl(\mathrm{e}^{-\mu}(... ...\frac{1}{4}\dot{\mu}(\dot{\mu}-\dot{\nu})\bigr )\ . \end{aligned}$$